Relação e Função

Relação e Função

Par ordenado

É um par de elementos (x ; y) onde a ordem é importante, de modo que o par ordenado (x ; y) é considerado diferente do par ordenado (y ; x).

Plano Cartesiano

Sobre um plano, podemos adotar dois eixos perpendiculares OX e OY, de origem comum O, de modo que a cada ponto do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Por exemplo, na figura abaixo, o ponto P pode ser representado pelo par ordenado (3 ; 15) onde 3 é a abscissa e 15 é a ordenada do ponto:

Relação

Dados dois conjuntos A e B, uma relação de A em B é um conjunto de pares ordenados (x ; y) onde x A e y B.

Exemplo

Considerando os conjuntos A e B abaixo podemos considerar as seguintes relações de A em B:

R1 = { (1 ; 7) ; (2 ; 5) ; (2 ; 7) ; (3 ; 6)} R2 = { (2 ; 7) ; (2 ; 8) ; (3 ; 5)}

Uma relação pode ser representada por um diagrama de flechas. Para as relações de exemplo acima podemos fazer os seguintes diagramas:

As flechas unem o primeiro ao segundo elemento de cada par ordenado.

O segundo elemento do par ordenado é chamado de imagem do primeiro. Assim, em relação ao par ordenado (1 ; 7), pertencente à relação R₁, dizemos que 7 é imagem de 1.

Função

Uma relação f de A em B é chamada de função de A em B se, e somente se forem satisfeitas as condições:

1ª) Todos os elementos de A possuem imagem;

2ª) Cada elemento de A tem uma única imagem.

Exemplos

Consideremos as relações f, g e h representadas pelos diagramas de flechas:

A relação de f não é função pois o número 1 (pertencente a A) não possui imagem.

A relação g não é função pois o elemento a possui duas imagens: 4 e 8.

A relação h é uma função de A em B pois cada elemento de A possui uma única imagem. Observe que no conjunto B pode haver elementos que não são imagens (17 e 20). Observe também que podemos ter dois elementos com a mesma imagem (9 e 11).

Domínio e Conjunto Imagem

Dada uma função de A em B, o conjunto A é chamado domínio (D(f)) da função. O conjunto de todas imagens é chamado conjunto imagem (I(f)) da função. Por exemplo, para a função f esquematizada a seguir temos:

A = D(f) = domínio de f = {1; 2; 3} I(f) = conjunto imagem de f = {7; 8}

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