Produtos Notáveis e Fatoração

Produtos Notáveis e Fatoração

Produtos Notáveis

Quadrado da soma ou diferença

( a + b )² = a²+ 2ab + b²

( a - b )² = a² - 2ab + b²

( a + b + c )² = a²+ b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

( a + b - c )² = a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc

( a - b + c )² = a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc

( a - b - c )² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc

Exemplos

(2x + 3y²)² = (2x)² + 2(2x)(3y²) + (3y²)² =

= 4x² + 12xy² + 9y⁴

Produto da Soma pela Diferença

( a + b ) . ( a - b ) = a² - b²

Exemplos

x² - 16 = (x + 4) . (x - 4)

a⁴ - b⁴ = (a²)² - (b²)² = (a² - b²) . (a² + b²) = (a + b) . (a - b) . (a² + b²) 

Cubo da soma e da diferença

( a + b )³ = a³+ 3a²b + 3ab² + b³

( a - b ) ³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplo

(x + 2)³ = x³ + 3(x²) (2) + 3(x) (2)² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Fatoração

Fatorar significa encontrar fatores que conduzam a um produto dado.

Principais casos de fatoração:

Fator comum (evidência)

ax + bx = x(a + b)

Agrupamento

ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

Diferença de Quadrados

a² - b² = (a + b) (a - b)

Quadrados Perfeitos

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

Soma de Cubos

(a³ + b³) = (a + b) (a² - ab + b²)

Diferença de cubos

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Exemplo

8y³ - 125 = (2y)³ - 5³ = (2y - 5) . (4y² + 10y + 25)

Cubos Perfeitos

a ³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

a ³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

Exemplo

x³ + 3x² + 3x + 1 = ( x + 1 )³

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