Geometria Plana
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Geometria Plana
Polígonos
Definição: sejam n pontos(n > 3), A1, A2, A3, ..., An de um mesmo plano, três a três não colineares, de modo que as retas determinadas por dois pontos consecutivos deixem todos os demais num mesmo semiplano. Nestas condições a união dos segmentos A1, A2, A2, A3, ..., An, A1 é chamada de polígono convexo.
N |
Nome |
3 |
Triângulo |
4 |
Quadrilátero |
5 |
Pentágono |
6 |
Hexágono |
7 |
Heptágono |
8 |
Octógono |
9 |
Eneágono |
10 |
Decágono |
11 |
Undecágono |
12 |
Dodecágono |
15 |
Pentadecágono |
20 |
Icoságono |
Para os demais dizemos: polígono de n lados.
Número de diagonais
Chama-se diagonal o segmento que une dois vértices não consecutivos.
Cada vértice dá origem a (n - 3) diagonais; menos 3, pois se eliminam o próprio vértice, e os dois vértices adjacentes.
Os n vértices dão origem a n.(n - 3) diagonais.
Como cada diagonal foi contada duas vezes, temos:
Soma dos ângulos internos Si
Como ilustram as figuras a seguir, as diagonais que partem de um vértice, dividem o polígono em (n - 2) triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o, então a soma dos ângulos internos de um polígono é: Si = (n - 2) . 1800
Soma dos ângulos externos Se
Sejam ai e ae os ângulos interno e externo respectivamente de um vértice de um polígono.
Nestas condições, em qualquer vértice, temos ai e ae = 180º
Considerando os n vértices temos:
Si + Se = n . 180º
(n - 2) . 180º + Se = n . 180
n . 180º - 360º + Se = n . 180º
Se = 360º
Ângulo interno ai e ângulos externo ae .
Se o polígono for regular (lados iguais e ângulos iguais) temos:
Quadriláteros notáveis
Trapézio
Tem dois lados paralelos.
Se tiver dois ângulos retos: trapézio retângulo.
Se tiver os lados não paralelos iguais: trapézio isósceles.
Paralelogramo
Tem os lados paralelos dois a dois.

AB || CD e AD || BC
Propriedades
1ª - lados opostos iguais.
2ª - ângulos opostos iguais.
3ª - as diagonais se cortam ao meio.
Retângulo
Paralelogramo com os quatro ângulos retos.
Além das três propriedades do paralelogramo, apresenta mais uma: as diagonais são iguais.
Losango
Paralelogramo com os quatro lados iguais.
Além das três propriedades do paralelogramo, apresenta mais duas: as diagonais são perpendiculares e as diagonais são bissetrizes dos ângulos.
Quadrado
Retângulo e losango ao mesmo tempo.
Apresenta as seis propriedades anteriores.
Circunferência e círculo
Ângulos na Circunferência
1. Ângulo Central e Ângulo Inscrito
.
Obs. pois consideramos o raio OA unitário.
2. Ângulo Excêntrico Interior
3. Ângulo Excêntrico Exterior
Potência de um ponto em relação a uma circunferência
Nas figuras abaixo são dados um ponto P e uma circunferência. As retas r e s são retas secantes quaisquer à circunferência.
Os triângulos PAD e PCB são semelhantes, pelo critério AA, e, portanto:
PA.PB = PC.PD
Este produto, que não depende das secantes consideradas, recebe o nome de potência do ponto em relação à circunferência.


No caso de P externo à circunferência, se a reta s for tangente, então CD
T o que resulta
PA . PB = PT2
Se r também for tangente, então A B Q o que resulta
PQ2 = PT2,
ou seja

PQ = PT
Cevianas de um triângulo
Pontos notáveis
Chama-se ceviana de um triângulo ao segmento que tem uma extremidade em um vértice e a outra num ponto qualquer do lado oposto.
Relação de Stewart
a2y + b2x - z2c = cxy
Altura
A ceviana CP é denominada altura, se CP for perpendicular a AB.
O cálculo da altura é feito aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ACP e BCP.
Caso o ângulo  seja obtuso, a altura é externa ao triângulo; porém, é obtida da mesma forma.
Mediana
A ceviana CP é denominada mediana, se P for o ponto médio de AB.
O cálculo da mediana é feito aplicando a relação de Stewart.
Um caso particular importante é quando o triângulo for retângulo em C. Posteriormente iremos demonstrar que a mediana é metade da hipotenusa.
Bissetriz
A ceviana CP é denominada bissetriz, se CP divide o ângulo ao meio.
O cálculo da bissetriz é feito aplicando a relação de Stewart e o teorema da bissetriz.
Teorema da Bissetriz: “A bissetriz divide o lado oposto na razão dos lados adjacentes.”
Polígonos Regulares Notáveis
Polígono Regular inscrito numa circunferência de raio R: relações métricas
Quadrado



Hexágono
|
![]() |
![]() |
Triângulo Equilátero
Triângulos e semelhança de triângulos
Soma dos ângulos internos
Igual a 180º
Ângulo externo
É igual à soma dos internos não adjacentes.
Existência
A medida de cada lado é menor que a soma da dos outros dois.
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes se tiverem os lados homólogos respectivamente congruentes, e os ângulos correspondentes com mesma medida.
Notação: ABC
A'B'C’.
O símbolo indica a semelhança na forma (~), e a igualdade na medida ( = ).
A definição acarreta seis congruências: três relativas aos lados e três relativas aos ângulos.
No entanto, a recíproca, ou seja, a quantidade de congruências necessárias para assegurar a congruências de dois triângulos, é de apenas três, através dos seguintes critérios:
1º - LAL (dois lados e o ângulo entre eles)
2º - ALA (um lado e os dois ângulos adjacentes)
3º - LLL
4º - LAA0 (um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto)
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Triângulo Retângulo
ABC ~
HAC ~
HBA
1)
2) Somando membro a membro
b2 + c2 = am + an
b2 + c2 = a(m + n)
b2 + c2 = a . a
b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras)
3)
4)
Seguimentos Proporcionais
Paralelismo
Duas retas de um mesmo plano são paralelas se, e somente se, são coincidentes ou tem intersecção vazia.
Postulados de Euclides
Por um ponto fora de uma reta é única a paralela a esta reta.
Teorema Fundamental do Paralelismo
Se duas retas coplanares distintas são cortadas por uma transversal, e formam com esta ângulos correspondentes de mesma medida, então elas são paralelas.
Teorema de Tales
“Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais então a razão de dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes à outra.”
Exemplo
Áreas de figuras Planas
Postulado geral da área
"A um quadrado com lado de comprimento a corresponde uma área a2."
A partir deste axioma deduzem-se todas as demais áreas das figuras planas.
Triângulos
qualquer
qualquer
"fórmula de Heron"
qualquer qualquer
Qualquer
S = p.r
Triângulo retângulo
Triângulo equilátero
Quadriláteros Notáveis
Trapézio
Paralelogramo
S = b.h
Retângulo

S = b.h
Losango
Quadrado


Polígono Regular
S = p.r
Onde p é o semiperímetro, e r é o apótema (raio da inscrita).
Regiões Circulares
Círculo
S = R2
Coroa circular
S = (R2 - r2)
Setor Circular


Segmento Circular



Sumário
- Polígonos
- Número de diagonais
- Soma dos ângulos internos e externos
- Quadriláteros notáveis
- Circunferência e círculo
- Cevianas de um triângulo
- Polígonos Regulares Notáveis
- Triângulos e semelhança de triângulos
- Congruência de triângulos
- Paralelismo
- Áreas de figuras Planas e Circulares



