Geometria Plana

Geometria Plana

Polígonos

Definição: sejam n pontos(n > 3), A₁, A₂, A₃, ..., A_n de um mesmo plano, três a três não colineares, de modo que as retas determinadas por dois pontos consecutivos deixem todos os demais num mesmo semiplano. Nestas condições a união dos segmentos A₁, A₂, A₂, A₃, ..., A_n, A₁ é chamada de polígono convexo.

Para os demais dizemos: polígono de n lados.

Número de diagonais

Chama-se diagonal o segmento que une dois vértices não consecutivos.

Cada vértice dá origem a (n - 3) diagonais; menos 3, pois se eliminam o próprio vértice, e os dois vértices adjacentes.

Os n vértices dão origem a n.(n - 3) diagonais.

Como cada diagonal foi contada duas vezes, temos:

Soma dos ângulos internos S_i

Como ilustram as figuras a seguir, as diagonais que partem de um vértice, dividem o polígono em (n - 2) triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^o, então a soma dos ângulos internos de um polígono é: S_i = (n - 2) . 180⁰

            

Soma dos ângulos externos S_e

Sejam a_i e a_e os ângulos interno e externo respectivamente de um vértice de um polígono.

Nestas condições, em qualquer vértice, temos a_i e a_e = 180º

Considerando os n vértices temos:

S_i + S_e = n . 180º

(n - 2) . 180º + S_e = n . 180

n . 180º - 360º + S_e = n . 180º

S_e = 360º

Ângulo interno a_i e ângulos externo a_e .

Se o polígono for regular (lados iguais e ângulos iguais) temos:

Quadriláteros notáveis

Trapézio

Tem dois lados paralelos.

Se tiver dois ângulos retos: trapézio retângulo.

Se tiver os lados não paralelos iguais: trapézio isósceles.

Paralelogramo

Tem os lados paralelos dois a dois.

AB || CD e AD || BC

Propriedades

1ª - lados opostos iguais.

2ª - ângulos opostos iguais.

3ª - as diagonais se cortam ao meio.

Retângulo

Paralelogramo com os quatro ângulos retos.

Além das três propriedades do paralelogramo, apresenta mais uma: as diagonais são iguais.

Losango

Paralelogramo com os quatro lados iguais.

Além das três propriedades do paralelogramo, apresenta mais duas: as diagonais são perpendiculares e as diagonais são bissetrizes dos ângulos.

Quadrado

Retângulo e losango ao mesmo tempo.

Apresenta as seis propriedades anteriores.

Circunferência e círculo

Ângulos na Circunferência

1. Ângulo Central e Ângulo Inscrito .

    

Obs.   pois consideramos o raio OA unitário.

2. Ângulo Excêntrico Interior

   

3. Ângulo Excêntrico Exterior

 

Potência de um ponto em relação a uma circunferência

Nas figuras abaixo são dados um ponto P e uma circunferência. As retas r e s são retas secantes quaisquer à circunferência.

Os triângulos PAD e PCB são semelhantes, pelo critério AA, e, portanto:

PA.PB = PC.PD

Este produto, que não depende das secantes consideradas, recebe o nome de potência do ponto em relação à circunferência.

No caso de P externo à circunferência, se a reta s for tangente, então CDT o que resulta

PA . PB = PT²

Se r também for tangente, então A B Q o que resulta

PQ² = PT²,

ou seja

PQ = PT

Cevianas de um triângulo

Pontos notáveis

Chama-se ceviana de um triângulo ao segmento que tem uma extremidade em um vértice e a outra num ponto qualquer do lado oposto.

Relação de Stewart

a²y + b²x - z²c = cxy

Altura

A ceviana CP é denominada altura, se CP for perpendicular a AB.

O cálculo da altura é feito aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ACP e BCP.

Caso o ângulo  seja obtuso, a altura é externa ao triângulo; porém, é obtida da mesma forma.

Mediana

A ceviana CP é denominada mediana, se P for o ponto médio de AB.

O cálculo da mediana é feito aplicando a relação de Stewart.

Um caso particular importante é quando o triângulo for retângulo em C. Posteriormente iremos demonstrar que a mediana é metade da hipotenusa.

Bissetriz

A ceviana CP é denominada bissetriz, se CP divide o ângulo ao meio.

O cálculo da bissetriz é feito aplicando a relação de Stewart e o teorema da bissetriz.

Teorema da Bissetriz: “A bissetriz divide o lado oposto na razão dos lados adjacentes.” 

Polígonos Regulares Notáveis

Polígono Regular inscrito numa circunferência de raio R: relações métricas

Quadrado

Hexágono

 

Triângulo Equilátero

     

Triângulos e semelhança de triângulos

Soma dos ângulos internos

Igual a 180º

Ângulo externo

É igual à soma dos internos não adjacentes.

Existência

A medida de cada lado é menor que a soma da dos outros dois.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes se tiverem os lados homólogos respectivamente congruentes, e os ângulos correspondentes com mesma medida.

Notação: ABC A'B'C’.

O símbolo indica a semelhança na forma (~), e a igualdade na medida ( = ).

A definição acarreta seis congruências: três relativas aos lados e três relativas aos ângulos.

No entanto, a recíproca, ou seja, a quantidade de congruências necessárias para assegurar a congruências de dois triângulos, é de apenas três, através dos seguintes critérios:

1º - LAL (dois lados e o ângulo entre eles)

2º - ALA (um lado e os dois ângulos adjacentes)

3º - LLL

4º - LAA₀ (um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto)

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Triângulo Retângulo

ABC ~ HAC ~ HBA

1)

   

2) Somando membro a membro

b² + c² = am + an

b² + c² = a(m + n)

b² + c² = a . a

b² + c² = a² (Teorema de Pitágoras)

3)

4)

Seguimentos Proporcionais

Paralelismo

Duas retas de um mesmo plano são paralelas se, e somente se, são coincidentes ou tem intersecção vazia.

Postulados de Euclides

Por um ponto fora de uma reta é única a paralela a esta reta.

Teorema Fundamental do Paralelismo

Se duas retas coplanares distintas são cortadas por uma transversal, e formam com esta ângulos correspondentes de mesma medida, então elas são paralelas.

Teorema de Tales

“Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais então a razão de dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes à outra.”

    

Exemplo

     

Áreas de figuras Planas

Postulado geral da área

"A um quadrado com lado de comprimento a corresponde uma área a²."

A partir deste axioma deduzem-se todas as demais áreas das figuras planas.

Triângulos

qualquer

 

qualquer

  "fórmula de Heron"

qualquer qualquer

                          

                              

Qualquer

S = p.r

Triângulo retângulo

Triângulo equilátero

  

Quadriláteros Notáveis

Trapézio

Paralelogramo

S = b.h

Retângulo

S = b.h

Losango

   

Quadrado

 

 

Polígono Regular

S = p.r

Onde p é o semiperímetro, e r é o apótema (raio da inscrita).

Regiões Circulares

Círculo

   

S = R²

Coroa circular

   

S = (R² - r²)

Setor Circular

Segmento Circular