Geometria Plana

Geometria Plana

Polígonos

Definição: sejam n pontos(n > 3), A₁, A₂, A₃, ..., A_n de um mesmo plano, três a três não colineares, de modo que as retas determinadas por dois pontos consecutivos deixem todos os demais num mesmo semiplano. Nestas condições a união dos segmentos A₁, A₂, A₂, A₃, ..., A_n, A₁ é chamada de polígono convexo.

Para os demais dizemos: polígono de n lados.

Número de diagonais

Chama-se diagonal o segmento que une dois vértices não consecutivos.

Cada vértice dá origem a (n - 3) diagonais; menos 3, pois se eliminam o próprio vértice, e os dois vértices adjacentes.

Os n vértices dão origem a n.(n - 3) diagonais.

Como cada diagonal foi contada duas vezes, temos:

Soma dos ângulos internos S_i

Como ilustram as figuras a seguir, as diagonais que partem de um vértice, dividem o polígono em (n - 2) triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^o, então a soma dos ângulos internos de um polígono é: S_i = (n - 2) . 180⁰

Soma dos ângulos externos S_e

Sejam a_i e a_e os ângulos interno e externo respectivamente de um vértice de um polígono.

Nestas condições, em qualquer vértice, temos a_i e a_e = 180º

Considerando os n vértices temos:

S_i + S_e = n . 180º

(n - 2) . 180º + S_e = n . 180

n . 180º - 360º + S_e = n . 180º

S_e = 360º

Ângulo interno a_i e ângulos externo a_e .

Se o polígono for regular (lados iguais e ângulos iguais) temos:

Quadriláteros notáveis

Trapézio

Tem dois lados paralelos.

Se tiver dois ângulos retos: trapézio retângulo.

Se tiver os lados não paralelos iguais: trapézio isósceles.

Paralelogramo

Tem os lados paralelos dois a dois.

AB || CD e AD || BC

Propriedades

1ª - lados opostos iguais.

2ª - ângulos opostos iguais.

3ª - as diagonais se cortam ao meio.

Retângulo

Paralelogramo com os quatro ângulos retos.

Além das três propriedades do paralelogramo, apresenta mais uma: as diagonais são iguais.

Losango

Paralelogramo com os quatro lados iguais.

Além das três propriedades do paralelogramo, apresenta mais duas: as diagonais são perpendiculares e as diagonais são bissetrizes dos ângulos.

Quadrado

Retângulo e losango ao mesmo tempo.

Apresenta as seis propriedades anteriores.

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