Estudo dos polinômios

Estudo dos polinômios

Chama-se polinômio na variável real x, toda a expressão da forma p(x) = a0xn + a2xn-1 + a2xn-2 + an-1x1 onde N .

Raiz ou zero do Polinômio

Trata-se do valor de P(x) que faz: P(x) = 0

A existência das raízes da equação P(x) = 0 é garantida pelo teorema fundamental da álgebra, atribuído a D´Alembert: "Toda equação polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa”.

Valor Numérico de um polinômio

Para x = b é representado por P(b) = a0 . bn + a1 . bn-1 + a2 . bn-2 +an

Grau de um Polinômio

Chama-se grau de um polinômio P(x) 0, o número n    tal que n é o maior valor de n  , para o qual an 0 (onde n = 0,1,2,3 ...)

Exemplos

P(x) = 2x3 - 3x + 1     Grau 3

P(x) = 5                      Grau 0

P(x) = x2 - 3x + 7       Grau 2

Polinômio Nulo

Diz se que um polinômio P(x) é identicamente nulo se P(a) = 0 para qualquer a.

Operações com Polinômios

Soma / Subtração de Polinômios

Da álgebra elementar temos que nós só podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termos que possuam expoentes iguais.

Exemplos

P(x) = 3x4 - 7x3 + 5x2 + 12x - 8

Q(x) = x4 - 12x2 + 7x + 2

P(x) + Q(x) = 4x4 - 7x3 - 7x2 + 19x - 6

P(x) - Q(x) = 2x4 - 7x3 + 17x2 + 5x - 10

Multiplicação de Polinômios

Exemplo

(2x2 - 7x + 4) . (x3 + 2x) = 2x5 + 4x3 - 7x4 - 14x2 + 4x3 + 8x

Divisão de Polinômios

Método da chave:

Exemplo

Assim o Q(x) =   é o quociente da divisão e R(x)= 9/4 é o resto.

Teoremas

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio p (x) por x – c é o valor numérico de p(x) em c, isto é, o resto é p (c).

Exemplo

     Calcular o resto da divisão de f = x3 - 2x2 + 3 por x - 1.

     r = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2

Teorema de D´Alembert

Um polinômio p(x) é divisível por x – c se e somente se p (c) = 0.

Dispositivo de Briot – Ruffini

Dividir x3 - 7x - 6 por x - 3. Observando que x3 - 7x - 6 = x3 + 0x2 - 7x - 6, temos:

  • Aulas relacionadas

Sumário

- Raiz ou zero
- Valor Numérico
- Grau de um Polinômio
- Operações com Polinômios
- Teorema do Resto
- Teorema de D’Alembert
- Dispositivo de Briot – Ruffini
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