Equação Algébrica

Equações Algébricas 

Uma equação algébrica ou polinomial é a equação do tipo p( x ) = 0

Teorema: se um número complexo é raiz de uma equação polinomial, então o seu conjugado também é raiz desta equação e com mesma multiplicidade.

Teorema Fundamental da Álgebra

Toda a equação polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa.

Multiplicidade de Raízes

Dizemos que x0 é raiz de multiplicidade 2 quando x0 é raiz duas vezes. Se o x0 é raiz tripla dizemos que x0 é raiz de multiplicidade 3 etc…

Relações de Girard

Equação de 3º grau: sejam r1, r2, r3, as raízes da equação ax3 + bx2 + cx + d = 0

r1 + r2 + r3 = -

r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 =

r1 . r2 . r3 =

Exemplos

Sejam x1, x2, x3 as raízes da equação 2 x3 + 4x2 - 5x + 8; escrever as relações de Girard:

x1 + x2 + x3 =

x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 =

x1 . x2 . x3 = -

Pesquisa de raízes racionais

Seja a equação anxn-1 + an+1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Dizemos que as prováveis raízes racionais desta equação pertencem ao conjunto dos números com p, q Z* onde p divisores a0 e q divisores de an.

Exemplo

Resolver a equação x3 - 7x + 6 = 0.

p/q = 1, 2, 3, 6, são as possíveis raízes.

Devemos verificar qual ou quais desses valores é (são) raízes de P(x). No caso P(1), P(-3) e P(2) são nulos logo x1 = 1, x2 = -3, x3 = 2 são as raízes do polinômio.

Sumário

- Teorema Fundamental da álgebra
- Multiplicidade de Raízes
- Relações de Girard
- Pesquisa de raízes racionais
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