Determinantes

Determinantes

Determinante é um número associado à matriz quadrada de ordem “n”.

Exemplo

16 é o valor do determinante associado na matriz de ordem 2 dada.

Cálculos

Determinante de 2ª Ordem

Determinante de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)

+ (a₁₁ . a₂₂ . a₃₃) + (a₁₂ . a₂₃ . a₃₁)+ (a₁₃ . a₂₁ . a₃₂)

- (a₃₁ . a₂₂ . a₁₃) + (a₃₂ . a₂₃ . a₁₁)+ (a₃₃ . a₂₁ . a₁₂)

D = 1 + 0 + 8 - 6 - 0 - 8 = -5

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de ordem “n” é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento a_ij e indica-se por C^ij ao produto (-1)^i+j. D^ij onde D^ij é o determinante obtido suprimindo-se a linha -i e a coluna -j.

REGRA DE CHIÓ

Desde que a matriz M tenha a₁₁ = 1, suprimimos a 1ª linha e a 1ª coluna de M.

De cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas “extremidades das perpendiculares”, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna.

Com as diferenças obtidas, construímos uma matriz de ordem (n - 1), cujo determinante é igual ao de M.

Exemplo:

Propriedades dos determinantes

Casos em que o determinante é igual a zero

• quando todos os elementos de uma fila são nulos.
• quando possui duas filas paralelas proporcionais ou iguais.
• quando uma de suas filas é combinação linear de outras filas paralelas.

Transformações que não alteram um determinante

• um determinante não se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas.
• um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma os correspondentes elementos de fila paralela multiplicados por uma constante.

Transformações que alteram determinantes

•  um determinante muda de sinal quando se trocam as posições de duas filas paralelas.
•  quando se multiplica (ou divide) uma fila, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

Propriedades complementares

•  Se numa matriz quadrada forem nulos todos elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
•  det (A . B) = det A . det B (Teorema de Binet).
•  det A = det A^t.
•  determinante de uma matriz de Vandermonde:

Cálculo da Matriz Inversa através de Determinantes

A^-1 =

Obs.

 se det A 0 então A^-1 e a matriz A é dita inversível.

 se det A = 0, então não existe A^-1, isto é, a matriz A não é inversível.

Neste caso matriz A é dita matriz singular.

Exemplo

Dada a matriz A = calcular sua inversa:

Det A = 4 - 6 = -2

Matriz dos cofatores de A =

Matriz dos cofatores de A transposta =

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