Conjuntos Numéricos - Operações com Conjuntos

Conjuntos Numéricos - Operações com Conjuntos

Os números racionais

• = { 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números naturais.
• = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números inteiros.
• é racional um número que pode ser escrito como um quociente entre dois inteiros; assim, se p e q são números inteiros e é um número racional.

Por exemplo

são números racionais.

Os números inteiros são também números racionais; eles podem ser escritos como um quociente entre dois inteiros:

Um número racional pode, ainda, ser escrito na forma decimal, como por exemplo:

Note que nos três primeiros números, a representação decimal "termina" e é simples escrever frações correspondentes que os representam:

Para os dois outros exemplos, a representação decimal "não termina", é um grupo de algarismos que repete-se uma infinidade de vezes: são as dízimas periódicas.

Podemos sempre determinar uma fração que é igual a uma dízima periódica qualquer, isto é, uma dízima periódica representa efetivamente um número racional.

Por exemplo, vamos obter uma fração que gera a dízima 0,222...

Temos:

x = 0,222... (1)

10 . x 2,222 ....(2)

Fazemos a subtração (2) - (1) , obtendo

10 x - x = (2,222....) - (0, 222....),

donde

9 x = 2

Os números reais

Certos números como não podem ser escritos como um quociente entre inteiros. Esses números não são racionais; eles são chamados números irracionais.

Um número irracional pode ser escrito na forma decimal; por exemplo:

Essa representação decimal apresenta uma infinidade de algarismos e não é periódica.

O conjunto constituído pelos números racionais e pelos números irracionais é denominado conjunto dos números reais, e é representado com a letra .

A reta numérica

Podemos nos utilizar de uma reta para representar o conjunto dos números reais.
Para construirmos essa representação, sobre uma reta selecionamos um ponto O - chamado origem - para representar o número zero; depois, "à direita" da origem marcamos um ponto U para representar o número 1. A distância entre O e U é então a unidade de comprimento.

Agora, observe que os números reais, não nulos, dividem-se em dois tipos distintos: os números positivos e os números negativos. Identificamos um número positivo a com o ponto da reta que está à distância a unidades "à direita" da origem. Se a é negativo, então o identificamos com o ponto localizado - a unidades "à esquerda" da origem.

A figura abaixo mostra o resultado dessa identificação.

A reta sobre a qual construímos uma representação para é denominada reta numérica ou reta real.

A identificação entre os números reais e os pontos de uma reta estabelece que cada número real corresponde a exatamente um ponto da reta e, inversamente, cada ponto da reta numérica corresponde a um único número real.

O ponto A identificado com o número real a é chamado gráfico de a; diz-se também que o ponto A tem abscissa a

Se A tem abcissa a, escrevemos:

A (a)

Intervalos

Na reta real, um segmento ou uma semirreta chamam-se intervalos. Há diferentes maneiras para representá-los, como descrevemos abaixo:

Sejam, então, a e b reais, com a < b; temos:

Fica convencionado, também, que escreveremos:

5. Inclusão

Vimos que todo número inteiro é um número racional; por exemplo, o inteiro 21 é racional pois pode ser escrito na forma , de um quociente entre inteiros. Em outras palavras:

• todo elemento do conjunto  é um elemento do conjunto

Traduzimos uma tal situação dizendo que está contido no conjunto , e escrevemos   .

De um modo geral, temos:

Note que :

Intersecção e união

Você se lembra de que um círculo D é o conjunto de pontos interiores a uma circunferência C mais a própria circunferência.

Na figura representamos dois círculos D₁ e D₂ e colorimos os pontos comuns a D₁ e D₂.

Esse conjunto (de pontos), assim destacado, chama-se intersecção de D₁ e D₂; o que se nota com D₁  D₂ e que se lê : "D₁ inter D₂."

Podemos também considerar o conjunto dos pontos que pertencem ao menos a um dos dois conjuntos, isto é, pertencem a D₁, pertencem a D₂, pertencem a D₁ D₂:

Diz-se que esse conjunto é constituído pelos pontos que pertencem a D₁ ou a D₂. é chamado de união de D₁ e D₂; o que se nota com D₁ D₂,que se lê: "D₁ união D₂."

Fatoração

1. A forma fatorada dos números naturais

Se um número natural a divide exatamente um segundo número natural b, a é um fator de b. Por exemplo, 3 divide 12, e é então um fator de 12.
Note que os fatores de 12 são:

• 1, 2, 3, 4, 6, 12

pois cada um deles divide 12 exatamente.

Fatorar um número é escrevê-lo como o produto de outros números naturais. Se cada um desses fatores é um número primo, o número natural diz-se fatorado em um produto de fatores primos.

Exemplo

60 = 2² . 3. 5

140 = 2² . 5. 7

180 = 2² . 3². 5

O maior número natural que divide 60, 140 e 180 denomina-se máximo divisor comum desses três números. Indica-se:

• MDC (60, 140, 180)

Note que 60, 140 e 180 têm dois fatores 2 e um fator 5, comuns, seu MDC é 2² . 5 = 20

Monômios algébricos como 3 p².q.r, 6p³.q².r e 9p⁴.q³ também têm MDC:

3 p²q r = 3.p.p.q.r

6 p³q²r = 3.2.p.p.p.q.q.r

9 p⁴q³ = 3.3.p.p.p.p.q.q.q.

Cada monômio tem um fator 3, dois fatores p e um fator q, comuns, então, o MDC dos monômios é:

3. p².q

Soma e diferença de cubos

Para fatorarmos uma soma ou diferença de dois cubos, usamos os seguintes resultados:

(a + b) . (a² - ab + b²) = a³ + b³

(a - b) . (a² + ab + b²) = a³ - b³

Para verificarmos, por exemplo, a primeira das fórmulas, efetuamos o produto indicando no seu primeiro membro.

Exemplos

a³ + 8 = a³ + 2³ = (a + 2) . (a² - a2 + 2²)

= (a + 2) . (a² + 2a + 4)

27 x³ -64 y³ = (3x)³ - (4y)³

= (3x - 4y) . [(3x)² + 3x . 4y + (4y)²]

= (3 x - 4 y) . (9x² - 12 xy + 16 y²)

Equação do 1º grau

Equação do tipo a x + b = 0, x

Se a 0, a equação se escreve:

Note que a equação é do 1º grau e admite uma única solução:

Se a = 0, a equação se escreve:

x = - b.

Se b 0, a equação não admite soluções.

Se b = 0, toda x, x, é solução da equação.

Equação do 2º grau

1. Trinômio do 2º grau

2. Forma canônica do trinômio do 2º grau

Seja o trinômio f (x) = a x² + b x + c, a 0. Temos :

(a em evidência)

E, sendo , vem:

que é a forma canônica do trinômio do 2º grau.

3. Equação do 2º grau: a x²+ b x + c = 0

Fazendo b² - 4 ac = , a equação a x²+ b x + c = 0 é equivalente a:

Então, se < 0, a equação não admite soluções (um quadrado é não negativo).

Se = 0, a equação admite uma única solução:

x = -

Se > 0, a a equação admite duas soluções:

4. Fatoração do trinômio a x² + b x + c

Utilizando a forma canônica,

a x² + b x +c = a .,

temos:

, o resultado é evidente:

a x² + b x + c = a

> 0, escrevendo

,

fazemos aparecer uma diferença de dois quadrados:

Relações entre as raízes e o coeficiente de uma equação do 2º grau

1. Propriedade

Seja a equação do 2º grau a x² + b x + c = 0, cujas raízes são x₁ e x₂. Temos:

x₁ =    e   x₂ =

Então,

S = x₁ + x₂ = +==

P = x₁ . x₂ = .

Exemplos

1. Na equação 2 x² + 3 x - 17 = 0, a soma e o produto das raízes são, respectivamente

S =

P =

2. Seja a equação 2 x² -7 x + 5 = 0.

A relação 2 -7 +5 =0 mostra que x₁ = 1 é raiz da equação. A outra raiz x₂, verifica a condição 1 . x₂ = , donde, x₂ = .

2. Problema

Sejam S e P dois números reais dados. Existem dois números reais cuja soma é S e cujo produto é P? Se existem, como calculá-los?

Temos:

(x - x₁) . (x -x₂) = x² - (x₁ + x₂) . x + x₁ . x₂

Note que os raios x₁ e x₂ são as raízes da equação (x - x₁) . (x - x₂) = 0, e portanto, são as raízes da equação x² - (x₁ + x₂) . x + x₁ . x₂ = 0. Daí,

• Se x₁ + x₂ = S e x₁ . x₂ = P, então x₁ e x₂ são necessariamente as raízes da equação x² - S . x + P = 0.
• Se x₁ e x₂ são as raízes de x² - Sx + P = 0, então pelo teorema anterior, x₁ + x₂ = S e x₁ . x₂ = P.

O cálculo do discriminante da equação x² - S . x + P = 0,

= S² - 4P,

mostra que:

Existem dois números reais de soma S e de produto P se e somente se

S² 4P

Exemplos

1. Determine, se existem, dois números cuja soma é 4 e cujo produto é 1.

Resolução

Os números procurados são as raízes da equação

x² - 4x + 1 = 0

Temos = 16 - 4 = 12 (então, os números existem...)

E, sendo = 4.3, isto é, , os números desejados são

,

ou,

3. Problema

Vamos formar uma equação do 2º grau que tenha como raízes os reais x₁ e x₂, dados.

Calculamos a soma e o produto de x₁ e x₂; obtemos:

x₁ + x₂ = S

x₁. x₂ = P

Então x₁ e x₂ são as raízes da equação

x² - S. x + P = 0

Exemplos

1. Formar uma equação do 2º grau raízes são e .

Resolução

Temos:

S = () + () = 6

P = () . () = = 9 - 2 = 7

Então, a equação desejada é

x² - 6x + 7 = 0

A regra de três

Quando y varia diretamente com x a equação y = kx é equivalente a

Então se os pares (x₁; y₁) e (x₂; y₂) satisfazem y = kx, então cada uma das razões e será igual a k:

Essa proporção pode ser utilizada para resolver problemas de variação direta, quando não se requer a constante de proporcionalidade - é a regra de três.

O domínio da composta

Dadas as funções f e g, gof é uma função que se diz composta de g e f, definida por

(gof) (x) = g (f (x))

O domínio de gof é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de f tais que f(x) pertence ao domínio de g

Exemplo

Dadas as funções f e g por

,

vamos determinar o domínio de g o f.

Demonstrações das leis dos logaritmos

Sejam M e N positivos, com b > 0 e b 1.

Vamos fazer

Passando para forma exponencial, temos

LEI - 1

Multiplicando membro a membro as equações ( 3 ) e ( 4 )

M . N = b^r . b^s = b^{r + s}

Passando esta equação para a forma logarítmica vem

Daí, das equações ( 1 ) e ( 2 ) resulta

LEI - 2

Dividindo membro a membro as equações ( 3 ) e ( 4 )

Passando esta equação para a forma logarítmica vem

Daí, usando as equações ( 1 ) e ( 2 ) resulta

LEI - 3

Vamos fazer

Passando para a forma exponencial, temos

Substituindo ( 4 ) em ( 6 ), vem

Daí,

Usando as equações ( 5 ) e ( 2 ) resulta

Fórmula da Mudança de Base

Suponha que dado e desejamos

Seja

Passando para a forma exponencial vem

b^y = x

Tomando logaritmo na base a de ambos os membros

Mas, ; então

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