Binômio de Newton

BINÔMIO DE NEWTON

Fatorial

Sendo um número natural, o fatorial de n, indicado por n! é definido por:

Exemplo

Número Binomial

Exemplo

Propriedades

Propriedade I

Exemplo

(são ditos complementares)

Propriedade II

Exemplo

Relação entre Números Binomiais

Relação de Stifel

Exemplo

Triângulo de Pascal (ou Tartaglia)

é uma tabela onde podemos dispor ordenadamente os coeficientes dos números binomiais.

Substituído pelos seus valores, obtemos

Na construção do Triângulo de Pascal não é necessário calcular os coeficientes binomiais um a um, basta usarmos algumas de suas propriedades que darei a seguir:

- Em cada linha o primeiro e o último são iguais a 1.

- A partir da 3ª linha, cada elementos ( com exceção do 1º e do último ) é a soma dos dois elementos da linha anterior, imediatamente acima dele.

Desenvolvimento do Binômio de Newton

Binômio de Newton

Exemplo

(x + 2)⁴ = C_4,0 . x⁴ . 2⁰ + C_4,1 . x³ . 2¹ + C_4,2 . x² . 2² + C_4,3 . x¹ . 2³ + C_4,4 . x⁰ . 2⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16

Fórmula do Termo Geral do Binômio de Newton

Seja o Binômio _{(X + A)ⁿ}:

A fórmula do termo geral é dada por:

Exemplo

Calcular o 6º termo do desenvolvimento de (x + y)^15:

_{C15,5 . x¹⁰ . y⁵}

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