Movimento Harmônico Simples

Movimento Harmônico Simples

Movimentos Periódicos

Quando um fenômeno se repete, de modo idêntico, em intervalos de tempo iguais, esse fenômeno é chamado de periódico e o intervalo de tempo é chamado de período (T). O movimento de um pêndulo, o movimento circular uniforme e o movimento oscilatório de um corpo suspenso por uma mola, são exemplos de movimentos periódicos.

Definição

Quando um movimento periódico ocorre numa trajetória retilínea, oscilando em torno de uma posição de equilíbrio, ele é chamado de movimento harmônico simples.

Como exemplo, tem-se um MHS de uma esfera, que oscila num plano horizontal sem atrito, devido a atuação de uma força restauradora, do tipo elástica, que faz com que o corpo sempre retorne à posição de equilíbrio.

Os extremos da trajetória (A e A') são os pontos de inversão, onde o móvel inverte o sentido de seu movimento sendo, portanto, a sua velocidade nula.

O ponto médio (o) da trajetória é a posição de equilíbrio do móvel sendo, portanto, a sua aceleração nula.

Relação entre Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme

O movimento harmônico simples (MHS) pode ser estudado considerando-o como uma projeção de um movimento circular uniforme (MCU) sobre o diâmetro da circunferência de raio a.

Num movimento circular uniforme a velocidade escalar (v) e a velocidade angular () são constantes. Para esse movimento definimos período (T) e frequência (f):

- T = tempo para efetuar 1 volta completa

- f = número de voltas do unidade de tempo

Enquanto o ponto material P descreve um movimento circular uniforme (MCU), a sua projeção P' descreve um movimento harmônico simples (MHS).

O período T do MCU e do MHS são iguais pois, enquanto o ponto P do MCU completa uma volta, o ponto P' (MHS) retorna a sua posição inicial, completando um ciclo.

Elementos do Movimento Harmônico Simples

  • Origem das elongações (O): centro da circunferência
  • Elongação (X): abscissa do ponto material (projeção do M.C.U); x1> 0 e x2 < 0
  • Amplitude (a): elongação máxima (raio da circunferência)
  • Fase (): ângulo entre o eixo das abscissas e o raio da circunferência. Indica o número de oscilação efetuadas pelo corpo a partir do instante t = 0. Este ângulo é medido no sentido anti-horário e em radianos.
  • Período (T): intervalo de tempo correspondente a uma oscilação completa.
  • Frequência (f): número de oscilações efetuadas por unidade de tempo .
  • Pulsação (): frequência angular (velocidade angular do M.C.U.)

Cinemática do Movimento Harmônico Simples

Função horária da elongação

Num instante t, o móvel ocupa o ponto P, cujo espaço angular é  .

As posições do ponto P' , que realiza o MHS, são determinadas no eixo x, com origem no centro da circunferência O. As posições do ponto P' se orientam da esquerda para a direita.

Do triângulo OPP' temos:


 

 

:  velocidade angular do MCU.

Em geral, 0= 0 (sendo denominada fase inicial do MHS), portanto: x= a cos (.t)

A pulsação (), frequência angular, corresponde a velocidade angular do MCU. Vemos a mesma relação:

.

Função horária da velocidade escalar do Movimento Harmônico Simples

A velocidade escalar vp' do ponto P' é obtida projetando a velocidade vp do ponto P, que realiza o MCU.

Do triângulo OPP' temos:

Com o = 0 v = - a sen( .t)

No ponto médio (x = 0), o módulo de v é máximo, ou seja: |vmáx| = . a

Função horária da aceleração escalar do corpo em Movimento Harmônico Simples

A aceleração escalar de do ponto P' é a projeção da aceleração do ponto P.

Com o = 0
  = -2 a cos ( . t)
Nos extremos (x = a), o módulo de é máximo, ou seja:
 |máx| = 2.a

Outras relações do Movimento Harmônico Simples

= -2.x
 

Gráficos (para o = 0)

Sumário

- Movimentos Periódicos
i. Definição
- Relação entre o MHS e o MCU
- Elementos do MHS
- Cinemática do MHS
i. Função horária da elongação
ii. Função horária da velocidade escalar do MHS
iii. Função horária da aceleração escalar do corpo em MHS
- Outras relações do MHS
- Dinâmica do MHS
i. Força e Período
- Energia no MHS
- Pêndulos Simples
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