Movimento Circular - Cinemática Angular

Movimento Circular - Cinemática Angular

Deslocamento Angular

Consideremos uma partícula movendo-se sobre uma circunferência de raio R, indo de um ponto A a um ponto B.

O comprimento do arco    é a variação de espaço  Δs.

O ângulo central Δθ, oposto ao arco  , é chamado deslocamento angular.

Quando este ângulo é medido em radianos temos:

Δs = R . (Δθ) ou (I)

Exemplo 1

Uma partícula move-se sobre uma circunferência de raio R = 4,0 m indo do ponto A ao ponto B. Calcule o deslocamento angular em radianos e a variação de espaço  Δs.

Resolução

Assim:

Velocidade Angular

Além da velocidade escalar média, dada por , podemos definir a velocidade angular média (ω_m) dada por:

(II)

cuja unidade, no Sistema Internacional, é o radiano por segundo: rad/s.

Pela equação I temos: Δs = (Δθ) . R. Dividindo os dois membros por Δt:

(III)

A mesma relação vale para a velocidade escalar instantânea (v) e a velocidade angular instantânea (ω):

v = ωR   (IV)

Exemplo 2

Sobre uma circunferência de raio R = 10 m, uma partícula descreve um arco    de comprimento  Δs = 30 m em um intervalo de tempo  Δt = 2,0 s. Calcule, para esse intervalo de tempo:

A) a velocidade escalar média;

B) o deslocamento angular; e

C) a velocidade angular média.

Resolução

Poderíamos também ter usado a relação III:

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Num movimento circular uniforme a velocidade escalar (v) e a velocidade angular (ω) são constantes. Para esse movimento definimos período (T) e frequência (f).

Para N = 1 teremos  = T:

(V)

No Sistema Internacional, a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de frequência é o hertz (Hz):

1 Hz = 1 hertz = 1 volta por segundo = 1 rotação por segundo = 1 rps.

Às vezes é usada também a unidade rpm (rotações por minuto).

Para um intervalo de tempo igual a um período (Δt = T) teremos Δs=2πR  e  Δθ=2πradianos. Assim:

Exemplo 3

Uma partícula tem movimento uniforme sobre uma circunferência de raio R = 10 m, com período T = 0,25 s. Calcule a frequência (f), a velocidade escalar (v) e a velocidade angular (ω) do movimento.

Resolução

Poderíamos também ter usado a equação IV:

Observação:

A velocidade escalar (v) é também chamada de velocidade linear ou velocidade tangencial.

Transmissão de movimento circular

Podemos transmitir um movimento circular por meio de uma correia (Fig. 2) ou pelo contato entre rodas (Fig. 3); neste caso é costume usar rodas dentadas para evitar o deslizamento.

Para os dois casos, supondo que não haja deslizamento, os pontos da periferia da roda A têm a mesma velocidade escalar que os pontos da periferia da roda B:

v_A = v_B

Exemplo 4

Duas rodas de raios R_A = 12 cm e R_B = 6 cm giram acopladas como indica a figura. Sabendo que a frequência da roda A é f_A = 40 Hz, calcule a frequência da roda B.

Resolução

Supondo que não haja deslizamento temos:

v_A = v_B

mas: . Assim:

v_A = v_B R_A f_A = R_B f_B

12 (40) = 6 (f_B)

f_B = 80 Hz

Equação horária do Movimento Circular Uniforme

Consideremos uma partícula movendo-se sobre uma circunferência de raio R com velocidade angular constante. Suponhamos que a partícula se mova no sentido anti-horário, que adotaremos como positivo (Fig. 4).

Adotemos o ponto O como origem dos espaços e o segmento CO como origem das posições angulares.

No instante inicial (t = 0) a partícula tem espaço inicial s₀ e posição angular θ₀. No instante t a partícula terá espaço s e posição angular θ.

Sendo um movimento uniforme sabemos que:

s = s₀ + vt

Dividindo todos os termos por R:

θ = θo + ωt (VIII)

Aceleração Angular

Quando a velocidade angular varia podemos definir uma aceleração angular média (γ_m):

(lX)

No Sistema Internacional, a unidade da velocidade angular é rad/s e a de tempo é o segundo. Assim, a unidade de aceleração angular é rad/s^2.

Exemplo 5

Num intervalo de tempo Δt = 4,0 s, a velocidade angular de uma partícula varia de ω_i = 3,0 rad/s para ω_f = 9,0 rad/s. Para esse intervalo de tempo calcule a aceleração angular média.

Resolução

Quando a velocidade angular varia de maneira uniforme em relação ao tempo, a aceleração angular instantânea (γ) coincide com a aceleração angular média (γ_m).

Podemos relacionar a aceleração angular (γ) com a aceleração escalar (α). Sabemos que:

Assim:

(X)

Movimento Circular Uniformemente Variado ( MCUV )

Quando a aceleração angular é constante (e não nula) o movimento circular é chamado de uniformemente variado. Nesse caso a aceleração escalar também será constante.

Para um movimento uniformemente variado (Fig. 5) sabemos que valem as equações:

(XI)

De modo análogo podemos demonstrar que:

(XII)