Gravitação Universal

Gravitação Universal

Os Movimentos dos Planetas

Na Grécia antiga, os primeiros filósofos propuseram modelos para explicar os movimentos dos corpos celestes. O primeiro modelo que teve, na época, uma grande aceitação foi o modelo geocêntrico (Fig. 1) assim chamado pois admitia que a Terra estaria no centro do Universo enquanto o Sol, a Lua e os planetas (até então conhecidos) girariam em órbitas circulares ao redor da Terra. Porém, esse modelo não explicava completamente as observações. Assim, Ptolomeu (100 DC - 165 DC) introduziu uma mudança nesse modelo (Fig. 2). Nesse novo modelo a Terra continuava no centro do Universo enquanto cada planeta girava em torno de um ponto o qual por sua vez tinha uma trajetória circular em torno da Terra.

   

O modelo de Ptolomeu prevaleceu até o Renascimento quando o polonês Nicolau Copérnico (1473 - 1543) propôs um modelo heliocêntrico (Sol no centro) segundo o qual (Fig. 3) o Sol estaria no centro do Universo, enquanto os planetas girariam, em órbitas circulares, em torno do Sol. Porém, esse modelo também não explicava as observações. Assim, usando os dados coletados pelo dinamarquês Tycho Brahe (1546 - 1601), o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571 - 1630) concluiu que as trajetórias dos planetas não eram circunferências mas sim elipses (Fig. 4 ).

Na época de Kepler só eram conhecidos 6 planetas. Mais tarde foram descobertos Urano, Netuno e Plutão e, de acordo com os conhecimentos atuais o Sistema Solar é o representado na figura 5. As órbitas de quase todos os planetas estão aproximadamente contidas num mesmo plano. A exceção é Plutão cuja órbita está contida num plano inclinado de 17º em relação ao plano da órbita da Terra.

Obs.: Até o ano de 2006, Plutão era considerado um planeta principal do sistema solar. Porém, foram descobertos vários corpos celestes de tamanha comparável ao de Plutão. Por este motivo, Plutão passou a ser considerado um "planeta anão", também sendo denominado de "plutoide".

 

Leis de Kepler

Analisando cuidadosamente os dados coletados por Tycho Brahe, Kepler chegou a três leis sobre os movimentos dos planetas.

Primeira lei de Kepler

Cada planeta gira em torno do Sol de modo que sua trajetória é uma elípse, estando o Sol num dos focos da elipse.

Segunda lei de Kepler

O segmento que liga o Sol a um planeta varre áreas proporcionais aos tempos gastos para o percurso.

Assim, por exemplo, no caso da Fig. 7, se o planeta gasta um tempo   para percorrer o trecho X1Y1 e um tempo para percorrer o trecho X2Y2, temos:

Observando a Fig. 7 percebemos que uma consequência dessa lei é que a velocidade do planeta não é constante durante o seu percurso. Quanto mais perto do Sol, maior a velocidade do planeta e, à medida que se afasta do Sol, sua velocidade diminui.

Terceira Lei de Kepler

Sendo T o período do movimento do planeta em torno do Sol e R o comprimento do semieixo maior da trajetória, temos:

O comprimento do semieixo maior (R) é também chamado de distância média ao Sol.

Se a trajetória for circular, o valor de R é o raio da circunferência.

Mais tarde, pela aplicação da Lei de Newton ( que veremos adiante ), demonstrou-se que as leis de Kepler valem para qualquer sistema onde existem corpos girando em torno de um corpo de massa muito maior, como por exemplo no caso da Lua e dos satélites artificiais girando em torno da Terra.

Exemplo 1

A distância média da Terra ao Sol é dada por . Sabendo que a distância média de Marte ao Sol é , calcule o tempo que Marte demora para dar uma volta em torno do Sol.

Resolução

Queremos determinar o período (TM) do movimento de Marte; o período do movimento da Terra é conhecido:

Pela terceira lei de Kepler temos:

TM = 1,9 anos terrestres

Lei da Gravitação Universal

Em 1687, em sua famosa obra "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural" , Isaac Newton (1642 - 1727) mostrou que as leis de Kepler podiam ser demonstradas admitindo que entre um par qualquer de partículas, de massas m1 e m2 (Fig. 9 ), existe um par de forças de atração cujas intensidades são dadas por:

onde d é a distância entre as partículas e G é uma constante, denominada constante de gravitação universal e cujo valor no Sistema Internacional de Unidades é:

Para calcular a força de atração entre corpos de tamanhos não desprezíveis devemos dividi-los em pequenos corpúsculos, calcular a força de atração entre cada par e depois efetuar a soma. Esse processo em geral é complexo, exigindo a aplicação do Cálculo Integral. No entanto há um caso particular demonstrado por Newton:

Se os corpos forem esféricos e homogêneos, a força de atração entre eles pode ser calculada supondo toda sua massa concentrada no centro (Fig. 10) e usando a distância entre os centros:

Exemplo 1

Duas pessoas, de massas M = 80 kg e m = 60 kg estão de pé, separados por uma distância 

d = 3,0 metros. Calcule o valor aproximado das intensidades das forças de atração gravitacional que há entre eles.

Resolução

Pela lei da gravitação de Newton temos:

F 3,5 . 10-8N

Como podemos observar, essa força tem intensidade muito pequena de modo que não a percebemos. Para que a força gravitacional tenha intensidade perceptível, pelo menos uma das massas deve ser "muito grande", como é caso dos planetas.

Sumário

- Os Movimentos dos Planetas
- Leis de Kepler
i. Primeira lei de Kepler
ii. Segunda lei de Kepler
iii. Terceira Lei de Kepler
- Lei da Gravitação Universal
- Corpos em Órbita Circular
- Campo Gravitacional
- Energia Potencial
i. Velocidade de Escape
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