Cinemática Vetorial

Cinemática Vetorial

Deslocamento

Se num certo intervalo de tempo, uma partícula vai de um ponto A para um ponto B, o deslocamento vetorial dessa partícula é um vetor cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto B (Fig.1), qualquer que tenha sido a trajetória.

Observando a Fig. 1 vemos que o comprimento do arco    é igual ao módulo da variação de espaço  :

e observamos também que, nesse caso,

Porém, quando tivermos uma trajetória retilínea (Fig.2), teremos  . Assim, em geral:

Velocidade Vetorial Média

Se, em um certo intervalo de tempo , uma partícula tem um deslocamento , sua velocidade vetorial média nesse intervalo de tempo é, por definição, o vetor  , dado por:

Como   , os vetores    e    devem ter a mesma direção e o mesmo sentido (quando não nulos) como ilustra a Fig. 3.

Vimos que a velocidade escalar média (vm) é dada por:

Assim, como , teremos:

Exemplo 1

Uma partícula sai de um ponto A, dirige-se para um ponto B e em seguida vai até um ponto C, como ilustra a figura, num intervalo de tempo = 2,0s.

Para esse intervalo de tempo, determine:

a) o vetor deslocamento

b) o velocidade vetorial média

c) o módulo da variação de espaço

d) o módulo da velocidade escalar média

Resolução

a) O vetor deslocamento tem origem no ponto inicial (A) e extremidade no ponto final (C), como mostra a figura abaixo.

Dessa figura temos:

mas:

Substituindo na equação acima:

b) A velocidade vetorial média é o vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido que , (como mostra a figura) e tal que:

Assim:

c) Da figura tiramos que:

d)

Velocidade Vetorial Instantânea

Calculando a velocidade vetorial média para um intervalo de tempo tendendo a zero ( ) obtemos a velocidade vetorial instantânea  . Por meio da teoria dos limites pode-se demonstrar que a velocidade vetorial instantânea é tangente à trajetória, como ilustra a Fig. 4. Sendo v a velocidade escalar instantânea, pode-se mostrar também que:

Aceleração Vetorial Média

Se uma partícula tem velocidade vetorial instantânea num instante inicial ti e velocidade vetorial instantânea num instante final tf, sua aceleração vetorial média (  ) nesse intervalo de tempo é, por definição,

Exemplo 2

Uma partícula move-se com velocidade escalar constante v = 8 m/s sobre uma circunferência, no sentido horário, como ilustra a figura. Num determinado instante a partícula está no ponto A e depois de um intervalo de tempo = 2 s, está no ponto B. Para esse intervalo de tempo, calcule a aceleração vetorial média.

Resolução

Na figura abaixo representamos as velocidades vetoriais instantâneas nos instantes inicial e final. Como sabemos, esses vetores devem ser tangentes à trajetória. Os vetores e são diferentes pois têm direções diferentes.

No entanto, como a velocidade escalar instantânea é constante, devemos ter:

Para calcular a aceleração vetorial média, calculamos primeiramente a variação da velocidade vetorial (  );

Na Fig. b representamos o vetor (  ). Por essa figura percebemos que:

 

Como  , os vetores devem ter a mesma direção e o mesmo sentido como ilustra a Fig. c.

Sumário

- Deslocamento
- Velocidade Vetorial Média
- Velocidade Vetorial Instantânea
- Aceleração Vetorial Média
- Aceleração Vetorial Instantânea
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