Análise Dimensional - Dimensão das Grandezas

Análise Dimensional - Dimensão das Grandezas

DIMENSÕES DAS GRANDEZAS

Nós sabemos que a velocidade pode ser medida em:

isto é, podemos dizer que

unidade de velocidade=

Representando a unidade de comprimento por L e a unidade de tempo por T, dizemos que:

dimensão da velocidade =

Representando a expressão dimensão da velocidade pelo símbolo [v] podemos escrever:

[v] = L . T -1

Algumas grandezas envolvem a massa. Nesse caso, a dimensão da massa é representada por M.

Exemplo 1

Determine a dimensão da grandeza densidade.

Resolução

A densidade d é definida por:

densidade =

ou

d =

Assim, uma das possíveis unidades de densidade é:

Assim, representando kg por M e metro cúbico por L3, a dimensão de densidade é:

ou

[d] = M . L-3

Exemplo 2

Determine a dimensão da grandeza força em função das dimensões fundamentais L, M e T.

Resolução

Da segunda lei de Newton temos:

F = m . a

força = (massa) . (aceleração)     (Equação I)

A dimensão de massa é M. Lembrando que uma das possíveis unidade de aceleração é

vemos que a dimensão de aceleração é:

[a] = = L . T-2

Portanto, da equação I concluímos:

[F] = M . L . T-2

Exemplo 3

A velocidade de propagação de uma onda em uma corda é dada por:

onde F é a intensidade da força de tração na corda. Determine a dimensão da grandeza μ.

Resolução

Os dois membros da equação devem ter a mesma dimensão.

Como já vimos, a dimensão de velocidade é:

[v] = L . T-1

Vimos também que a dimensão de força é:

[F] = M . L . T-2

Provisoriamente, representemos a dimensão de μ por:

[μ] = Lx My Tz

Assim, a dimensão de é:

Assim, a dimensão de é:

Portanto, como , temos:

Os expoentes de L devem ser os mesmos dos dois lados da equação:

    

Os expoentes de T devem ser os mesmos dos dois lados:

A massa não aparece no lado esquerdo. Portanto:

Resolvendo o sistema de equações formado pelas equações I, II e III, obtemos:

x = -1 y = 1 z = 0

Assim:

[] = Lx My

[] = L-1 M1

ou

[] = L-1 M1

Sumário

- Dimensões das grandezas
i. Previsão de fórmulas
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