Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Um conjunto com m (m ≥ 1) equações lineares a n incógnitas x₁, x₂, x₃,.... x_n denomina-se sistema linear.

Se o conjunto ordenado de números (α₁, α₂, α₃,.... α_n) satisfazer todas as equações lineares do sistema, será denominado solução do sistema linear.

Exemplo

  tem como solução x = 1 e y = 3, ou seja, (1 ; 3).

Classificação

Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções da seguinte maneira:

Exemplo

   não tem solução

   tem solução indeterminada que pode ser representada por 

Expressão matricial de um sistema linear

Chamamos de D o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas, isto é,

     D =

Regra de Cramer

Esta regra só poderá ser usada para sistemas possíveis e determinados.

Um sistema linear será SPD se D ≠ 0 e neste caso as soluções serão dadas por:

Onde D₁, D ₂, D₃,.... D_n são os determinantes que se obtém da matriz dos coeficientes das incógnitas, substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita procurada pelos termos independentes b ₁, b₂,.... b_n.

Exemplo

Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer

Sistema Escalonado

Sistema lineares são ditos equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução.

Sistemas escalonados são aqueles que apresentam zeros (0), como coeficientes das variáveis da seguinte forma:

Propriedades Operacionais para Obtermos um Sistema Escalonado

Propriedade 1: Num sistema linear quando trocarmos as posições de duas equações o sistema é equivalente ao anterior

Propriedade 2: Num sistema linear, ao se multiplicar uma equação por um número real não nulo, o sistema continua equivalente.

Propriedade 3: Num sistema linear, ao se multiplicar uma equação por um número real (não nulo) e somando-se esta a uma outra equação, o sistema obtido é equivalente ao anterior.

Discussão de um Sistema Linear

Discutir um sistema quer dizer verificar se o sistema é possível, impossível ou indeterminado.

SPD se D ≠ 0

SPI se D = 0 e D₁ = D₂ = ...D_n = 0

SI se D = 0 e pelo menos um D_i ≠ 0

Exemplo

Dado:

discutir o sistema abaixo.

Seja:

   o determinante do sistema.

D = a² - 6a = 0 ↔ a = 0 ou a = 6.

a = 0   

x = 2 e y é qualquer.

Logo o sistema é indeterminado.

a = 6

Logo o sistema é impossível.

Resumindo:    

a = 6 SI.

Avalie a aula