Raízes - Regras de Cálculo
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Raízes - Regras de Cálculo
1. O que é uma raiz
Vamos considerar algumas questões envolvendo números reais.
1ª questão: "Qual é o número real x cujo cubo é igual a 8, isto é, x3 = 8?"
A resposta a essa questão é fácil e precisa. Esse número x existe e é um só; é o número 2 pois 23 = 8.
Dizemos, então, que 2 é a raiz cúbica de 8, e escrevemos:
= 2
note que ()3 = 8
2ª questão: "Qual é o número real x cuja quinta potência é igual a - 32, isto é, x5 = - 32?"
A resposta também é simples. Esse número x existe e é único; é o número - 2 pois (- 2)5 = - 32.
Dizemos, então, que - 2 é a raiz quinta de - 32, e escrevemos:
= -2
note que ()5= -32.
3ª questão: "Qual é o número real x cujo quadrado é igual a 25, isto é, x2 = 25?"
Neste caso a resposta apresenta uma pequena dificuldade; há dois valores reais que respondem à questão; eles são 5 e - 5 pois 52 = 25 e (- 5)2 = 25.
Dizemos, então, que 5 e - 5 são raízes quadradas de 25; das duas, somente a positiva é representada com a escritura :
= 5
A negativa, - 5, é representada assim:
- = -5,
note que ()2 = 25 e (- )2 = 25.
4ª questão: "Qual é o número real x cuja quarta potência é igual a - 16, isto é, x4 = - 16?"
Tal número não existe; dizemos que - 16 não possui raiz quarta.
Então, a escrita não representa um número; ela nada significa.
2. A escritura
A tabela a seguir, onde A é um número real e n um inteiro positivo, dá um resumo da discussão feita acima.
n ímpar |
n par |
|
A > 0 |
Há uma única raiz (n-ésima), positiva, representada com . |
Há duas raízes (n-ésimas); a positiva é representada com . |
A < 0 |
Há uma única raiz (n-ésima), negativa, representada com . |
Não há raiz (n-ésima). A escritura nada significa. |
3. Nomes
Uma escrita como chama-se radical; nele, o número A chama-se radicando e o inteiro n chama-se índice (do radical).
Exemplo
Particularmente, observe que usamos:
Observação:
Veja em termos de notação e leitura:
: raiz quadrada
: raiz cúbica
: raiz quarta
: raiz quinta
.
.
.
: raiz n-ésima
Exemplos
, pois 55 = 3125
, pois (- 5)5 = - 3125
, pois 5 é positivo e 54 = 625
A escrita nada significa.
Exercícios
1. Complete:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
g) =
h) ()2 =
Resolução
a) = 8, pois 8 é positivo e 82 = 64.
b) = - 3, pois (- 3)3 = -27.
c) = 2, pois 25 = 32.
d) = 3, pois 3 é positivo e 34 = 81.
e) = = 4.
f) = = 4
g) = = 5, pois 5 é positivo e 52 = 25.
h) ()2 = 5; é a definição de raiz quadrada.
4. A equação x2 = A
Para resolvermos a equação
x2 = A
onde A é um número conhecido e x é a incógnita, devemos considerar três possibilidades.
1ª) A < 0
Nesse caso a equação não admite soluções reais, pois o quadrado de um número real não pode resultar negativo.
Essa situação equivale a dizer que um número negativo não possui raízes quadradas. Por exemplo, a equação x2 = - 4 não tem soluções; a escritura nada significa.
2ª) A = 0
A equação x2 = 0 admite uma única solução x = = 0
3ª) A > 0
A equação admite duas soluções, opostas: a solução positiva representada com e, a negativa, -.
Por exemplo, a equação x2 = 4 tem como soluções:
= 2 (positiva)
- = - 2 (negativa)
5. Regras de cálculo
Regras
Se todos os radicais envolvidos são números reais, com m, n e p inteiros positivos, valem as propriedades:
Exemplos
(Nos exemplos abaixo, todas as letras representam números positivos)
Exercícios
1. Simplifique:
A =
B =
Resolução
Temos:
A =
B =
2. Na escritura 2. "transportar para dentro do radical" o fator 2.
Resolução
Observe que 2 =
Então,
3. Reduzir a um mesmo índice os radicais , e
Resolução
Inicialmente, determinamos o m.m.c. dos três índices
m.m.c. (2,6,4) = 12
Então, escolhemos como índice comum o número 12:
Então, com o mesmo índice, os radicais assim se escrevem:
4. Transforme em um único radical:
A =
B =
Resolução
Temos:
A =
Em B, inicialmente, "transportamos para dentro do radical" o número a:
B =
5. Efetue: .
Resolução
Temos:
Então, a expressão é equivalente a:
2 + 4 + 8 = 14
6. Racionalização
O problema consiste essencialmente em como se evitar a presença de radicais no denominador de uma expressão.
Exercícios
1. Racionalize o denominador da fração .
Resolução
Note que . = ()2 = 5
Então,
2. Racionalize o denominador da fração .
Resolução
Note que
Então,
3. Racionalize o denominador da fração .
Recorde e guarde (decore!) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b) . (a - b) |
Resolução
Note, então, que temos
Daí,
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