Raiz complexa de um polinômio

RAÍZES COMPLEXAS DE UM POLINÔMIO

O Teorema Fundamental da álgebra

A ampliação do conceito de número, com a construção do conjunto dos números complexos, nos oferece um sistema no qual toda equação polinomial tem uma raiz. A demonstração dessa propriedade não é simples e foge dos propósitos do nosso curso; ela foi feita em 1799 pelo matemático alemão C. F. Gauss.

Note que um número real é também um número complexo; então, o teorema aplica-se para polinômios com coeficiente reais. Também, podemos dizer que a equação P(x) = 0 tem ao menos uma raiz real.

Pelo teorema do Fator sabemos que a toda raiz de um polinômio corresponde um fator do 1º grau; então o Teorema Fundamental da álgebra garante que podemos fatorar qualquer polinômio P(x) de grau n como

P(x) = (x - c₁) . P₁ (x)

onde P₁(x) é um polinômio de grau n- 1, e c₁ é uma raiz de P(x).

Agora, aplicando o Teorema Fundamental da álgebra para o quociente P₁(x), obtemos a fatoração

P(x) = (x - c₁) . (x - c₂) . P₂(x)

onde P₂(x) é um polinômio de grau n - 2, e c₂ é uma raiz de P₁(x).

Esse procedimento aplicado n vezes nos conduz a um quociente P_n(x) de grau zero, que é uma constante não nula, que chamaremos de a. Obtemos, então, a seguinte consequência do Teorema Fundamental da álgebra.

O número a é o coeficiente dominante de P(x), isto é, é o coeficiente de xⁿ. Pelo Teorema de Fator, os números c₁, c₂, ... , c_n são as raízes de P(x), ou da equação P(x) = 0. é possível que nem todas são diferentes. Se um fator x - c aparece k vezes na fatoração de P(x), então dizemos que c é uma raiz com multiplicidade k.

Exercícios

1. Determinar todas as raízes da equação x⁴ - 16 = 0

Resolução

A equação é de grau 4; ela tem exatamente 4 raízes.

Temos:

Essa expressão é zero quando um fator é zero.

As raízes da equação são 2i, -2i, -2, 2.

2. Resolver a equação x⁴ - 6x³ + 14x² - 16x + 8 = 0

Resolução

A equação tem grau 4; ela tem exatamente 4 raízes.

Pelo Teorema das Raízes Racionais sabemos que as possíveis raízes racionais são ± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Usando a divisão sintética, encontramos que 2 é raiz dupla da equação.

As raízes da equação são 1 + i, 1 - i, 2 (dupla).

3. Construir um polinômio que satisfaz a seguinte descrição:

P(x) tem grau 4, com raízes i, -i, 3 e -3 e com P(0) = -18.

Resolução

Pelo Teorema da Fatoração concluímos que o polinômio desejado tem a seguinte forma:

P(x) = a . (x - i) . [x - (- i)] . (x - 3) . [x - (-3)]

= a (x - i) . (x + i) . (x - 3) (x + 3)

Sendo P(0) = - 18, vem

P(0) = a . (0⁴ - 8 . 0² - 9) = - 18

- 9 a = - 18

a = 2

Então,

P(x) = 2 (x⁴ - 8x² - 9)

= 2x⁴ - 16x² - 18

Raízes conjugadas

Note nos exercícios resolvidos que as raízes complexas de um polinômio com coeficientes reais, aparecem aos pares.

Quando a + bi é uma raiz, também é raiz seu complexo conjugado a - bi.

Exercício

Formar um polinômio P(x), de grau 3, que tem coeficientes reais e raízes -2 e 2 - i.

Resolução

Sendo 2 - i uma raiz, também é raiz 2 + i, pelo Teorema das Raízes Imaginárias. Então, P(x) é da forma

P(x) = . [x - (-2)] . [x - (2 - i)] . [x - (2 + i)]

Se, por exemplo, adotarmos a = 1, obtemos

P(x) = x³ - 2x² - 3x + 10

Observação

Para a determinação do coeficiente dominante a dá-se uma condição, como por exemplo P(2) = 3,

ou P(0) = - 18, ...

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