Raiz complexa de um polinômio

RAÍZES COMPLEXAS DE UM POLINÔMIO

O Teorema Fundamental da álgebra

A ampliação do conceito de número, com a construção do conjunto dos números complexos, nos oferece um sistema no qual toda equação polinomial tem uma raiz. A demonstração dessa propriedade não é simples e foge dos propósitos do nosso curso; ela foi feita em 1799 pelo matemático alemão C. F. Gauss.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Todo polinômio

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 (n  1, an 0)

com coeficientes complexos tem ao menos uma raiz complexa.

Note que um número real é também um número complexo; então, o teorema aplica-se para polinômios com coeficiente reais. Também, podemos dizer que a equação P(x) = 0 tem ao menos uma raiz real.

Pelo teorema do Fator sabemos que a toda raiz de um polinômio corresponde um fator do 1º grau; então o Teorema Fundamental da álgebra garante que podemos fatorar qualquer polinômio P(x) de grau n como

P(x) = (x - c1) . P1 (x)

onde P1(x) é um polinômio de grau n- 1, e c1 é uma raiz de P(x).

Agora, aplicando o Teorema Fundamental da álgebra para o quociente P1(x), obtemos a fatoração

P(x) = (x - c1) . (x - c2) . P2(x)

onde P2(x) é um polinômio de grau n - 2, e c2 é uma raiz de P1(x).

Esse procedimento aplicado n vezes nos conduz a um quociente Pn(x) de grau zero, que é uma constante não nula, que chamaremos de a. Obtemos, então, a seguinte consequência do Teorema Fundamental da álgebra.

TEOREMA DA FATORAÇÃO

Se P(x) é um polinômio de grau n > 0, então existem números complexos a, c1, c2, ... , cn (a  0) tais que

P(x) = a (x - c1) (x - c2) . ... . (x - cn)

O número a é o coeficiente dominante de P(x), isto é, é o coeficiente de xn. Pelo Teorema de Fator, os números c1, c2, ... , cn são as raízes de P(x), ou da equação P(x) = 0. é possível que nem todas são diferentes. Se um fator x - c aparece k vezes na fatoração de P(x), então dizemos que c é uma raiz com multiplicidade k.

TEOREMA DAS N RAÍZES

Todo polinômio de grau n  1 tem exatamente n raízes, respeitado que uma raiz de multiplicidade k é contada k vezes.

Exercícios

1. Determinar todas as raízes da equação x4 - 16 = 0

Resolução

A equação é de grau 4; ela tem exatamente 4 raízes.

Temos:

Essa expressão é zero quando um fator é zero.

As raízes da equação são 2i, -2i, -2, 2.

2. Resolver a equação x4 - 6x3 + 14x2 - 16x + 8 = 0

Resolução

A equação tem grau 4; ela tem exatamente 4 raízes.

Pelo Teorema das Raízes Racionais sabemos que as possíveis raízes racionais são ± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Usando a divisão sintética, encontramos que 2 é raiz dupla da equação.

As raízes da equação são 1 + i1 - i2 (dupla).

3. Construir um polinômio que satisfaz a seguinte descrição:

P(x) tem grau 4, com raízes i, -i, 3 e -3 e com P(0) = -18.

Resolução

Pelo Teorema da Fatoração concluímos que o polinômio desejado tem a seguinte forma:

P(x) = a . (x - i) . [x - (- i)] . (x - 3) . [x - (-3)]

= a (x - i) . (x + i) . (x - 3) (x + 3)

Sendo P(0) = - 18, vem

P(0) = a . (04 - 8 . 02 - 9) = - 18

- 9 a = - 18

a = 2

Então,

P(x) = 2 (x4 - 8x2 - 9)

2x4 - 16x2 - 18

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Sumário

- O Teorema Fundamental da álgebra
- Teorema da fatoração
- Teorema das n raízes
- Teorema das raízes imaginárias
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