Probabilidade - Conceito de Probabilidade

Probabilidade - Conceito de Probabilidade

Experimento Aleatório

Quando estudamos Probabilidade, chamamos qualquer experiência ou ensaio cujo resultado não pode ser previsto de experimento aleatório. Por exemplo, lançar um dado e observar o número da face voltada para cima.

Chama-se de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis na realização de um experimento aleatório.

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um exemplo de um evento é obter cara (ou coroa) no lançamento de uma moeda.

A probabilidade de um evento é definida como:

Ou seja,

onde n(A) é o número de possibilidades de ocorrência do evento A e n(W) é o número de elementos do conjunto W (espaço amostral).

Exemplo

No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair um número par?

Num dado, há três possibilidades de número par: 2, 4, 6.

Portanto, A = (2, 4, 6)

Um dado contém 6 números. Portanto, o número de elementos do conjunto W (espaço amostral) é 6:

W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Note que 

Probabilidade de eventos independentes

Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.

Se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade individual de cada um.

Isto é: P (A e B) = P(A) x P (B).

Exemplo

Um único dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair o número 5 em ambos os lances?

Resposta

A probabilidade que saia o número 5 no primeiro lance é 1/6. Este resultado não afeta o resultado do segundo lance, pois são eventos independentes. A probabilidade que saia o número 5 no segundo lance também é 1/6. Portanto, a probabilidade que saia dois 5s consecutivos é: 1/6 x 1/6 = 1/36.

Probabilidade de eventos exclusivos

Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente: P (A e B) = 0.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos (A ou B), a probabilidade que A ou B ocorra é definida como a soma de suas probabilidades.

Isto é: P(A ou B)= P(A)+P(B).

Exemplos

Se um dado é lançado uma só vez, qual a probabilidade que saia 5 ou 6?

Resposta

Toda vez que se lança um dado, sai apenas um número. Não é possível que num único lance saia dois números simultaneamente. Neste exemplo, os dois eventos (sair 5 e sair 6) são mutuamente exclusivos. A probabilidade que saia 5 é 1/6. A probabilidade que saia 6 também é 1/6. A probabilidade que saia 5 ou 6 é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Dois eventos, A e B, são inclusivos quando é possível que ocorra A, B ou ambos. Se dois eventos, A e B, são inclusivos, a probabilidade que ocorra A ou B é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade que ambos ocorram.

Isto é: P (A ou B ou ambos) = P(A) + P (B) – P (A e B)

Exemplo

Se um dado é lançado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou um número maior que 3?

Resposta

Quando um dado é lançado, é possível que saia um número par e é possível que saia um número maior que 3. Mas é também possível que saia um número que seja par e acima de 3. Por exemplo, o número 4 é par e maior que o número 3.

A probabilidade de se obter um número par é 1/2 (há 3 números pares e 3 números impares).

A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.

A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6. (O número 5 não é par e os outros números são menores que 3).

Portanto, a probabilidade de se obter um número que seja par ou acima de 3 é:

P(número par ou acima de 3 ou ambos): 1/2 +1/2 - 1/3 = 2/3.

Probabilidade Condicional

Agora considere dois eventos, A e B, e a probabilidade de ocorrer o evento B é afetada pela ocorrência do evento A. Neste caso, ocorre probabilidade condicional.

A probabilidade condicional de que o evento B ocorra se o evento A ocorrer, é definida da seguinte forma:

Exemplo

Uma confeitaria produziu 160 sobremesas. 80 dessas sobremesas contêm chocolate, 60 contêm chantili e 20 contêm ambos. Se uma sobremesa for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade de ela conter chocolate? Qual é a probabilidade de a sobremesa conter chocolate e chantili sendo que ela já contém chantili?

Resposta

A probabilidade de a sobremesa conter chocolate é:

P(chocolate) = 100/160 = 5/8

O fato de a sobremesa já conter chantili reduz o espaço amostral para 60 (há 60 sobremesas que contêm chantili). Neste grupo, há 20 sobremesas que contêm chocolate e chantili; portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma sobremesa que contenha esses dois ingredientes é 20/60 = 1/3.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Num supermercado, há 14 pães à venda. 10 deles estão frescos e 4 estão mofados. Se um pão for selecionado randomicamente, qual a probabilidade de ele estar fresco?  

Resolução

Há 10 possibilidades favoráveis, pois há 10 pães frescos. Há 4 possibilidades desfavoráveis, pois há 4 pães mofados. A probabilidade é, portanto:

P(fresco) =

2. Baseando-se em experiências passadas, um técnico de computador preparou a seguinte tabela que lista as probabilidades de falhas num computador. Os eventos indicados na tabela não são inclusivos, isto é, não se considera a união de eventos.

 

a) Qual a probabilidade de o computador ter uma falha na memória?

b) Qual a probabilidade de o computador ter uma falha no drive?

Resolução

a) A probabilidade de uma falha na memória é: 0.07 + 0.10 = 0.17

b) A probabilidade de uma falha no drive é: 0.20 + 0.23 + 0.22 + 0.18 = 0.83

3. Se um par de dados é lançado, qual a probabilidade da somatória dos números ser 10?

Resolução

Há apenas três possibilidades de a somatória dos dois dados ser 10: (6,4), (4,6) e (5,5). Há 36 possibilidades (espaço amostral) no total, pois há 6 números por dado.

A probabilidade da somatória dos números ser 10 é calculada ao se dividir o número de resultados favoráveis, que é 3 – (6,4), (4,6) e (5,5) – pelo número total de possibilidades, que é 36.

3/36 = 1/12 = 0.083 = 8.3%.

4. Uma agência de inspeção visita uma fábrica de carros. No próximo dia, publica os seguintes resultados: 12% dos carros continham freios defeituosos, 8% continham motores defeituosos e 4% continham freios e motores defeituosos.

Qual foi a porcentagem de carros que continham freios defeituosos ou motores defeituosos?

Resolução

Na equação abaixo, F representa freios defeituosos, M representa motores defeituosos e FM representa freios e motores defeituosos.

As probabilidades são: P(F) = 0.12, P(M) = 0.08, P(FM) = 0.04

Portanto, P(F ou M) = P(F) + P(M) – P (FM) = 0.12 + 0.08 – 0.04 = 0.16

Este resultado indica que 16% dos carros continham freios defeituosos ou motores defeituosos.

5. Uma caixa contém 3 bolas de golfe, 8 bolas de tênis e 10 bolas de futebol. Qual a probabilidade de alguém selecionar randomicamente uma bola de futebol?

Resolução

Há 10 bolas de futebol na caixa. O espaço amostral é constituído por 21 possibilidades (3 + 8 + 10). Portanto, a probabilidade de se selecionar uma bola de futebol é 10/21.

6. Um par de dados é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de se obter uma soma de 5 no primeiro lance e uma soma de 6 no segundo lance?

Resolução

Lançar um par de dados pode resultar em 36 diferentes resultados, pois cada dado contém 6 números. Há quatro possibilidades de se obter a soma de 5: (1,4), (4,1), (2,3) e (3,2). Portanto, a probabilidade de se obter uma soma de 5 no primeiro lance de dados é 4/36 = 1/9.

O segundo lance de dados também pode resultar em 36 diferentes resultados. Há seis possibilidades de se obter a soma 6: (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), e (3,3). Portanto, a probabilidade de se obter uma soma de 6 no segundo lance de dados é 6/36 = 1/6.

Os lances são independentes, pois o resultado do primeiro lance não tem efeito sobre o resultado do segundo.

Se P(E e F) representa a probabilidade de se obter a soma de 5 no primeiro lance e a soma de 6 no segundo lance:

P(E e F) = 1/9 x 1/6 = 1/54.

7. Uma caixa contém 5 bolas azuis, 3 bolas vermelhas e 7 bolas amarelas. Se uma bola for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade que ela seja azul ou amarela?

Resolução

Já que nenhuma bola da caixa pode ser azul e amarela, os eventos são mutuamente exclusivos. A probabilidade de se selecionar uma bola azul é: P(azul) = 5/15 = 1/3. A probabilidade de se selecionar uma bola amarela é: P(amarela): 7/15.

Portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma bola azul ou uma bola amarela é:

P (azul ou amarela) = 1/3 + 7/15 = 4/5

8. Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de não sair o número 6?

Resolução

Há 6 números num dado; portanto, a probabilidade de sair o número 6 é 1/6. A probabilidade que não saia o número 6 é, portanto 1 – 1/6 = 5/6.

9. Se uma moeda é lançada, há 50% de chance de se obter cara e 50% de chance de se obter coroa. Se uma moeda for lançada 3 vezes, qual a probabilidade de se obter coroa pelo menos uma vez?

Resolução

Cada lance de moeda é um evento independente. A probabilidade que se obtenha cara as três vezes é:

.

Portanto, a probabilidade de não se obter cara as três vezes (ou seja, que se obtenha coroa pelo menos uma vez) é:

.

Resposta: 

10. Juliana, Mariana e Simone tentam resolver um problema matemático. Elas trabalham independentemente, não havendo qualquer troca de informações entre elas. As respectivas probabilidades de elas resolverem o problema são:

Juliana: 1/4
Mariana: 1/2
Simone: 5/8

Qual é a probabilidade de que ambas Juliana e Mariana resolvam o problema e que Simone não o resolva?

Resolução

As três probabilidades são independentes, pois não houve qualquer consulta ou troca de informações entre Juliana, Mariana e Simone. Portanto, um resultado não afeta o outro.

A probabilidade de Juliana resolver o problema é 1/4; a de Mariana é 1/2. Já que a probabilidade de Simone resolver o problema é 5/8, a probabilidade de ela não resolvê-lo é 3/8.

Portanto, a probabilidade de ocorrer esses três eventos é:

(1/4)(1/2)(3/8) = 3/64

Resposta:

A probabilidade de Juliana e Mariana resolverem o problema e de Simone não resolver o problema é 3/64.