Potências - Regras de Cálculo

Potências - Regras de Cálculo

1. Definições

Acreditamos que é mais cômodo escrever a soma x + x + x na forma 3x. Igualmente, podemos escrever o produto x.x.x de maneira mais simples, utilizando expoentes. Assim, escrevemos:

x.x.x = x³

Então, para qualquer número x, a escritura x³, que se lê "x à terceira potência" , representa o produto de três fatores iguais a x.

A expressão x³ é uma potência de base x, ou simplesmente potência de x; nela, 3 é um expoente.

Exemplos

z.z.z.z.z = z⁵

(2.2.2) . (3.3). (5.5.5.5.5.5) = (2³).(3²).(5⁶)

De um modo geral, para potências com expoentes inteiros, adotaremos as definições que seguem.

Definições

• Sejam a um número real e n um número inteiro, n ≥ 2; definimos: aⁿ =
• Adotamos a¹ = a
• Se a ≠ 0, convencionamos que a⁰ = 1
• Se a ≠ 0, a escritura a^-n representa o inverso de aⁿ, isto é

a ^{- n} =

Exercícios

1. Calcule:

a) 2² + (-2)²

b) 3³ + (-3)³

c) 3⁰ + 3¹ - (-3)⁰ - (-3)¹

d) 3^-2 + 2^-2 .

Resolução

a) 

b)

c)

d)

2. Regras de Cálculo

A partir das definições dadas, é possível estabelecermos algumas regras envolvendo potências com expoentes inteiros.

Regras

Sejam m e n números inteiros e a e b números reais quaisquer; valem as propriedades:

a^m . aⁿ = a^{m + n}

Quando se multiplicam potências com uma base comum, somam - se os expoentes e se usa a mesma base.

Quando se dividem potências com uma base comum (o denominador não pode ser zero), subtraem - se os expoentes e se usa a mesma base.

(a^m)ⁿ = a ^{m . n}

A potência de uma potência é o produto das potências com a mesma base.

(a . b)^m = a^m . b^m

A potência de um produto é o produto das potências.

A potência de um quociente (o denominador não pode ser zero) é o quociente das potências.

Exemplos

3² . 3⁴ = 3^{2 + 4} = 3⁶

x³ . x⁴ = x⁷

=2^{5 - 2} = 2³

= 7^2-3 = 7^-1

= 5^{3 - 3} = 5⁰ = 1

(2³)⁴ = 2^{3 . 4} = 2¹²

(a²)^-3 = a^-6

(3 . 5)² = 3² . 5²

(x . y)^-1 = x ^-1 . y ^-1

Exercícios

Simplifique:

a)  3 . x³ . x⁴

b)  

c)  

Resolução

a)  3 . x³ . x⁴ = 3 . x^{3 + 4} = 3 . x⁷

b)  

c)   

3. Escritura de um número em notação científica

A distância da Terra à Estrela Polar é de aproximadamente 10 000 000 000 000 000 000 metros, e a espessura de uma bolha de sabão é de quase 0,000 000 1 metros. Note que é fácil cometermos erros quando trabalhamos com números cujas escrituras apresentam muitos zeros.

Se, por engano, acrescentamos um zero, o resultado é dez vezes maior, ou se esquecemos um zero, o número fica dividido por dez!

Para evitar esse tipo de erro e facilitar o trabalho com números muito grandes ou muito pequenos, escrevemos os números em uma forma conveniente que se chama notação científica. Os números em notação científica se escrevem como o produto de uma potência de 10 e um número maior ou igual a 1, mas menor que 10. Em notação científica, a distância da Terra à Estrela Polar é 1 . 10¹⁹ , e a espessura de uma bolha de sabão é 1 . 10^-7 .

Definição

Um número real positivo N está escrito em notação científica quando é colocado na forma

N = c . 10^P,

onde p é um número inteiro e c um número real tal que 1 ≤ c ≤ 10

Exemplos

A velocidade da luz em centímetros por segundo é

v = 29 979 000 000

Então,

v = 2, 9979 . 10¹⁰

A massa de um próton em gramas é

m = 0, 000 000 000 000 000 000 000 00167

Então,

m = 1, 67 . 10^-24

4. Regra

Para escrevermos um número N na notação científica, inicialmente colocamos a vírgula após o primeiro algarismo não nulo de N. Em seguida, determinamos o expoente da potência de 10 contando o número de lugares (casas decimais) que a vírgula se deslocou. Se a vírgula se deslocou para a esquerda, o expoente é positivo, e se ela se deslocou para a direita, é negativo.

Exemplos