Números imaginários - números complexos

Números imaginários - números complexos

1. Definições

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

x2 + 9 = 0

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x2 = -9

x = ±

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

i =

Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

x = ±

x = ±

x = ± .

x = ± 3 i

As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição

Um número complexo é uma expressão da forma

a + bi

onde a e b são números reais e i2 = -1.

No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos

2 + 5i

parte real 2

parte imaginária 5

  i

parte real

parte imaginária

12i

parte real 0

parte imaginária 12

-9

parte real -9

parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

2. Aritmética dos números complexos

Adição e Subtração

Adição

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias

Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias

Exemplos

(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prática, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Na prática fazemos

(-5 + 6i)

Multiplicação

(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i2 = - 1

Exemplos

= 6 - 8i + 9i -12i2

Distributiva

= 6 + i - 12 . (-1)

-8i + 9i = i  e  i2 = - 1

= 6 + i + 12

 

= 18 + i

 

= - 8 - 4i + 4i + 2i2

Distributiva

= - 8 + 2 . (-1)

-4i + 4i = 0  e  i2 = - 1

=  - 8 - 2

 

= - 10

 

= - 3i . (4) - 3i . (-2i)

= - 12i + 6i2

= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i

3. O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z .  = (a + bi) . (a - bi)

 

         = a2 - abi + abi - b2i2

 

         = a2 - b2 . (-1)

A soma dos quadrados
de dois números reais
nunca é negativa

         = a2 + b2

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente    na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente    na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

=

=

=

= i

= 1 - i

  • Aulas relacionadas

Sumário

- Definições
- Igualdade de números complexos
- Aritmética dos números complexos
- O conjugado e a divisão
- Potências de i
- O caso da raiz quadrada
- Representação dos números complexos
- Módulo de número complexo
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