Números imaginários - números complexos

Números imaginários - números complexos

1. Definições dos números complexos

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

x² + 9 = 0

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x² = -9

x = ±

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

i =

Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

x = ±

x = ±

x = ± .

x = ± 3 i

As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i2 = -1. No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos

2 + 5i	parte real 2	parte imaginária 5
i	parte real	parte imaginária
12i	parte real 0	parte imaginária 12
-9	parte real -9	parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

2. Aritmética dos números complexos

Adição e Subtração

Adição

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias

Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias

Exemplos

(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prática, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Na prática fazemos

(-5 + 6i)

Multiplicação

(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Multiplicamos números complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = - 1

Exemplos

= 6 - 8i + 9i -12i2	Distributiva
= 6 + i - 12 . (-1)	-8i + 9i = i  e  i2 = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i

= - 8 - 4i + 4i + 2i2	Distributiva
= - 8 + 2 . (-1)	-4i + 4i = 0  e  i2 = - 1
=  - 8 - 2
= - 10

= - 3i . (4) - 3i . (-2i)

= - 12i + 6i²

= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i

3. O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi. Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados. Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z .  = (a + bi) . (a - bi)
= a2 - abi + abi - b2i2
= a2 - b2 . (-1)	A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa
= a2 + b2

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos Para escrevermos o quociente    na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente    na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

=

=

=

= i

= 1 - i

4. Potências de i

Temos:

i0 = 1	i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1
i1 = i	i5 = i4 . i = 1 . i = i
i2 = -1	i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -i	i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar i^x para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i²⁶ = i²⁴ . i² = (i⁴)⁶ . i^2 = 

= 1⁶ . (-1) = 

= -1

i⁴³ = i⁴⁰ . i³ = (i⁴)¹⁰ . i³

= i¹⁰ . (-i)

= -i

5. O caso da raiz quadrada

Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas

e -,

Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e -2i são as raízes quadradas de -4 porque

(2i)² = 2² . i² = 4 . (-1) = - 4

(- 2i)² = (- 2)² . i² = (- 2)² . i² = 4 . (- 1) = - 4

De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque

(i)² = i² . ()² = -1 . r = -r

(-i²) = (-1) ² . i² . ()² = 1 . (-1) . r = -r

Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com -. Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.

Raízes quadradas de números negativos Se - r < 0, então as raízes quadradas de - r são ie - i A raiz quadrada principal de - r é i : = i

Exemplos

 = i =i

 = i = 5i

= i

Observação

Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade  .  = . Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever

 . = i . i

= i² . .

=

Entretanto, se usarmos a propriedade temos

 . = 

Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i, com r > 0.

Exercícios

1. Efetuar as operações indicadas e dar a resposta na forma a + bi.

a) (2 + 3i) + (6 - i)

b) (3 + 5i) - (3 - 7i)

c) (2 + i) (3 + 5i)

d) (- 3 + 2i) . (4 - i)

e) (1 + i) (1 - 2i) i

f) 4i (1 + i) (1 + 2i)

Resolução

a) (2 + 3i) + (6 - i) = 

b)  = 12i

c)   = 6 + 10i + 3i + 5i²

= 6 + 13i + 5 . (-1)

= 6 + 13i - 5

= 1 + 13i

d)  = - 12 + 3i + 12i - 2i²

= - 12 + 15i - 2 . (-1)

= - 12 + 15i + 2

= - 10 + 15i

e) Vamos, inicialmente, efetuar a multiplicação (1 + i) . (1 - 2 i).

 = 1 - 2i + i - 2i² 

= 1 - i - 2 . (-1)

= 1 - i + 2

= 3 - i

Então,

(1 + i) . (1 - 2i) . i = 

= 3i - i²

= 3i - (-1)

= 3i + 1

= 1 + 3i

f) Vamos inicialmente, efetuar a multiplicação 4i . (1 + i).

 = 4i + 4i²

= 4i + 4 . (-1)

= 4i - 4

= - 4 + 4i

Exercícios

2.  Escrever cada um dos quocientes na forma a + bi.

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

f)  

Resolução

a) 

b) 

c)   

= =

= 

= 

d) 

= 

= 

= 6 - 2i

e) 

= 

= 

= 

= 

f)  Temos:

= 

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador vem

= 

= 

= 

= 

3. Simplificar

a) i¹⁵

b) i³³

c) (- i)¹¹¹

d) i²¹⁸

Resolução

a) Lembre que i⁴ = 1 e note que

Então, temos

i¹⁵ = i^4.3+3 = i^4.3 . i³

= (i⁴)³ . i³ = 1³ . (- i)

= - i

b) 

Então, temos

i³³ = i^4.8+1 = i^4.8 . i¹

= (i⁴)⁸ . i¹ = 1⁸ . i

= i

c) Temos:

(-1)¹¹¹ = (-1 . i)¹¹¹ = (-1)¹¹¹ . i¹¹¹ = - 1 .i¹¹¹

= - i¹¹¹

Sendo

Temos

- i¹¹¹ = - i^4.27+3 = - i^4.27 . i³

= - (i⁴)²⁷ . i³

= - (1)²⁷ . (- i)

= - 1 . (- i)

= i

d) 

Então temos

i²¹⁸ = i^4.54+2 = i^4.54 . i²

= (i⁴)⁵⁴ . i²

= 1⁵⁴ . (-1)

= -1

4. Efetue

a)   - 

b)  + 

c) 

d) (2 + ) . (-1 + )

Resolução

a) Temos

 = i= 5i

 = i= 3i

Então,

 -  = 5i - 3i = 2i

b) Temos

 = i = 4i

 = i =7i

Então,

 +  = 4i + 7i = 11i

c) Temos

Então,

d) Temos

 

Então,

(2 + ) . (-1 + ) = 

= -2 + 6i - 5i + 15i²

= -2 + i + 15(-1)

= -2 + i - 15

= -17 + i

5. Determinar os números reais x e y sabendo que 3x - 4i = 6 + 2yi.

Resolução

Sabemos que números complexos são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais.

Então, temos

3x + (- 4) i = 6 + 2yi

Então, x = 2 e y = - 2.

6. Representação dos números complexos

Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.

Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.

Exemplo

7. Módulo de número complexo

O módulo (ou valor absoluto) do número complexo a + bi é distância de a + bi à origem do plano complexo. Usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que a distância de (a; b) a (0; 0) é .

Definição O módulo (ou valor absoluto) do complexo z = a + bi é | z | =

Exemplos

O módulo do número complexo - 3 + 4i é

|-3 + 4i| = = = 5

O módulo do número complexo 7 + 4i é

|7 + 4i| = =