Funções - O conjunto imagem

Funções - O conjunto imagem

1. O que é uma função

Muitos fenômenos do nosso cotidiano envolvem duas grandezas que se relacionam de alguma forma por alguma regra de correspondência.

Por exemplo, suponha que a velocidade média de um carro é de 60 km/h. A distância percorrida pelo carro fica determinada pelo tempo que dura a viagem:

distância = velocidade x tempo

Usando símbolos (letras), essa relação pode ser expressa pela equação

d = 60 . t

na qual d é a distância percorrida (em km) no tempo t (em horas).

Quando t = 5 (horas) a distância percorrida é

d = 60 . 5 = 300 (km)

Note que para cada valor de t (é razoável dizer que t > 0) a equação produz exatamente o valor da distância d. Dizemos que a equação d = 60 . t descreve uma relação entre as grandezas d e t que é uma função ou, ainda, dizemos que a grandeza d é uma função da grandeza t.

Na relação descrita, observe que para cada escolha de t (t > 0) há exatamente um valor de d associado a t.

Há, entretanto, outros fenômenos nos quais a correspondência entre as grandezas não é descrita por fórmulas matemáticas. Por exemplo, podemos associar a cada hora do dia, das 11 às 15 horas, a temperatura (em graus Celsius) da água de uma piscina.

Não descrevemos tal correspondência com uma fórmula; mas podemos usar outros recursos para essa descrição.

Por exemplo, usamos um diagrama de flechas:

Essa mesma correspondência pode ser descrita com uma tabela:

Horas do dia
Temperatura
(Celsius)
11
24º
12
25º
13
25º
14
27º
15
28º

 

É importante notar que nos casos descritos há alguma regra de correspondência que associa a cada elemento de um conjunto exatamente um elemento de um outro conjunto.

Definição

Uma função f, de um conjunto A em um conjunto B, é uma regra de correspondência que associa a cada elemento do conjunto A um (e um só elemento) do conjuntoB.

2. Alguns nomes

Em uma função f, de A em B, o conjunto A denomina-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função.

Retomemos o exemplo dado acima.

Note na figura que todo elemento do domínio A tem um correspondente, e um único correspondente, no contradomínio B.

No contradomínio B algumas situações podem se apresentar: 25º é correspondente de mais de um elemento de A; 10º, 11º, 6º, 7º "sobram" em B e não são correspondentes de qualquer elemento de A.

Observação

O que acontece no contradomínio não importa. O que importa é que cada elemento do domínio tenha um correspondente e que esse correspondente seja único.

Exercícios

Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d, e}. O diagrama abaixo representa uma fração do conjunto A no conjunto B?

a) 

b) 

c) 

d) 

Resolução

a) Sim, porque cada elemento de A tem um correspondente, e um só, em B.

b) Não, porque os elementos 1 e 2 de A têm, cada um, dois correspondentes em B.

c) Sim, porque cada elemento A tem um correspondente, e um só, em B.

d) Não, porque o elemento 3 de A não tem correspondente em B.

3. O conjunto imagem

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 11} e seja a função f, de A em B, descrita pelo diagrama abaixo.

A parte do contradomínio B, constituída pelos elementos que são imagem de algum elemento do domínio A da função f, chama-se conjunto imagem da função e é representado com I.

Para a função f descrita acima temos:

I = {0, 2, 4}

Observação:

O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio:

I  CD

4. A fórmula

É comum representarmos funções por equações ou fórmulas envolvendo duas variáveis. Por exemplo, a equação

y = 1 - x2

representa a variável y como função da variável x. Aqui, x é a variável independente e y é a variável dependente.

O domínio da função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável independente x e o conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável dependente y.

Se conhecemos que a fórmula y = 1 - x2 descreve y como função de x, e se a essa função damos o nome f, então usamos a notação

f(x) = 1 - x2

O símbolo (desenho) f (x) lê-se como valor de f em x, ou imagem de x por f, ou simplesmente "f de x" (éfe de x).

f(x) corresponde ao valor de y para um dado x, ou f(x) é a imagem de um dado x; escrevemos y = f(x)

Sumário

- O que é uma função
- O conjunto-imagem
- O domínio implícito
- Funções definidas por mais de uma equação
Assine login Questões a responder image Questões para o Enem image