Funções - Função linear

Funções - Função linear

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função é o gráfico de todos os pares ordenados (x; f(x)) que definem a função.

Para o gráfico da figura, o domínio é mostrado sobre o eixo-x, e o conjunto imagem é mostrado sobre o eixo-y.

Por exemplo, para a função definida pela fórmula y = -2x + 4 o gráfico é a reta mostrada na figura.

Note que para todo número real x, tomado sobre o eixo-x, fica determinado um correspondente valor de y; então o domínio é o conjunto de todos os números reais, mostrado sobre o eixo-x. Como os valores de y podem ser qualquer número real sobre o eixo-y, o conjunto imagem é o conjunto de todos os números reais, mostrado sobre o eixo-y.

O teste da vertical

O teste da vertical pode ser usado para decidir se o gráfico de uma equação representa uma função.

Se uma vertical qualquer corta o gráfico de uma equação mais que uma vez, esse gráfico não pode representar uma função, porque a um valor de x corresponderiam mais do que um valor de y.

Por exemplo, na figura (a) o gráfico pode representar uma função, porque toda vertical corta o gráfico exatamente uma vez. O gráfico da figura (b) não representa uma função, porque algumas verticais cortam o gráfico em mais do que um ponto.

(a)

(b)

Função linear

Uma função linear é uma função definida por uma equação que pode ser escrita na forma.

f(x) = m x + b    ou    y = m x + b

onde m é o coeficiente angular da reta que é o seu gráfico e (0; b) é seu intercepto-y.

Observação:

A menos que se diga o contrário, o domínio da função linear é o conjunto de todos os números reais.

Por exemplo, dada a equação 2x + 3y = 6, nós a resolvemos para y:

2x + 3y = 6

3y = -2x + 6

y =  x + 2

Note que essa equação é da forma y = m x + b; então, ela define uma função linear. Seu coeficiente angular é m =  e seu intercepto-y é (0; 2). O gráfico é mostrado na figura.

Do gráfico podemos concluir que o domínio e o conjunto imagem são, ambos, o conjunto dos números reais.

Variação direta

Se um trem viaja a uma velocidade constante de 80 quilômetros por hora, a distância percorrida em t horas é dada por

d = 80 t

Note nessa fórmula que a distância d fica "diretamente" afetada pela variação do tempo t; quando t aumenta o mesmo se dá com d.

Dizemos que d é diretamente proporcional a t. Isso se deve ao fato de que a fórmula d = 80 t se transforma na proporção  = 80.

Também dizemos que d varia diretamente com t e que 100 é a constante de proporcionalidade.

Variação direta

Se as quantidades x e y são relacionadas pela equação

y = k x

onde k 0 é constante, dizemos y é diretamente proporcional a x, ou que y varia diretamente com x.

A constante k é chamada constante de proporcionalidade.

 

Lembre que uma função linear é uma função da forma f(x) = m x + b e seu gráfico é uma reta com coeficiente angular m e intercepto-y (0; b). Se y varia diretamente com x, então a equação y = k x ou, f(x) = k x, mostra que y é uma função linear de x. O gráfico dessa função é uma reta com coeficiente angular k, a constante de proporcionalidade. O intercepto-y é (0; 0), isto é, a reta passa pela origem.

y = k x , k > 0

x

y

(x; y)

0

0

(0; 0)

1

k

(1; k)

Sumário

- Gráfico de uma função
- Função linear
- Variação direta
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