Funções Exponenciais - Funções Logarítmicas

Funções Exponenciais - Funções Logarítmicas

Função exponencial

Para cada número real b (positivo e diferente de 1) podemos construir uma função chamada função exponencial com base b, cujo domínio é o conjunto de todos os números reais e cuja fórmula (equação) é y = b^x. Por exemplo

Observação

Usamos b > 0 para evitarmos raízes reais de números negativos; por exemplo

E, impomos b 1 porque y = 1^x = 1 define uma função constante.

Vamos examinar o comportamento da função exponencial com base 2

y = f(x) = 2^x

1. A função é definida para todos os valores reais de x; por exemplo

x = 2: f(2) = 2² = 4

x = -2: f(-2) = 2^-2 =

O domínio da função é o conjunto dos números reais.

2. Para todo valor de x, 2^x não assume o valor zero ou valores negativos.

O conjunto imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

3. Com uma tabela de valores podemos esboçar o gráfico de f(x) = 2².

Se desejarmos, podemos melhorar a exatidão do gráfico, marcando mais pontos. Por exemplo, para valores racionais (fracionários) de x, como e  , temos

Podemos também substituir x por valores irracionais, como ou  ; para efetuar os cálculos podemos usar uma calculadora científica.

Note que os pontos se ajustam bem à nossa curva.

Os gráficos das funções exponenciais y = b^x, com base b > 1, têm basicamente o mesmo comportamento do gráfico de y = 2^x, que desenhamos.

Vemos que as curvas são crescentes, com a concavidade voltada "para cima". Todas passam pelo ponto (0;1).

Vamos agora examinar os comportamentos da função exponencial com base

y = f(x) =

1. A função é definida para todos os valores reais de x; por exemplo

x = 2 : f(2) = =

x = -2 : f(-2) = = 2² = 4

O domínio da função é o conjunto dos números reais.

2. Para todo valor de x,  não assume o valor zero ou valores negativos.

O conjunto imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

3. Com uma tabela de valores podemos esboçar o gráfico de f(x) = .

Os gráficos das funções exponenciais y = b^x, com base 0 < b < 1, têm basicamente o mesmo comportamento do gráfico de y = .

Vemos que as curvas são decrescentes, com a concavidade voltada "para cima". Todas passam pelo ponto (0; 1).

Note também que o gráfico de y = = 2^-x pode ser obtido do gráfico de y = 2^x por reflexão em torno do eixo-y.

De um modo geral, isso se dá quando desenhamos o gráfico de uma equação y = f(x) e da equação y = f(-x), obtida de y = f(x) trocando x por -x.

Exercícios

1. Determine a função exponencial f(x) = b^x, cujo gráfico é dado.

Resolução

a) Se o gráfico passa por (2; 9), então f(2) = 9

O gráfico dado é o da função exponencial com base 3.

b) Se o gráfico passa por (3; ), então f(3) = 

O gráfico dado é o da função exponencial com base  .

2. Usar o gráfico de y = 2^x para obter o gráfico de cada uma das funções.

a) f(x) = - 2^x 

b) f(x) = 2^x - 1 

c) f(x) = 2^{x + 1}

Resolução

a)  
b)  

c)

Avalie a aula