Função Quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definições

Uma função definida por um polinômio do 2º grau se chama função quadrática. São exemplos de função quadrática em x:

f(x) = - 2 x² + x + 1

g(x) = 4 x² - 5

h(x) = x²

Definição

Uma função quadrática é uma função da forma

f(x) = a x² + b x + c

onde a, b e c são números reais a ≠ 0.

O gráfico da função quadrática

Entre as equações quadráticas a mais simples é f(x) = x². O seu gráfico servirá como base para construirmos os gráficos de outras equações quadráticas.

Inicialmente, apresenta-se uma simetria. Temos:

f(-2) = f(2) = 4

f(-1) = f(1) = 1

De um modo geral,

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)

isto é, para todo x temos

f(-x) = f(x)

Função par Quando uma função f satisfaz, para todo x do seu domínio, a propriedade f(-x) = f(x) ela se chama função par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo-y.

 

Vamos construir uma tabela com pares ordenados que são as coordenadas de pontos do gráfico da equação y = x². Quando marcamos esses pontos em um sistema de coordenadas e os unimos em uma curva contínua, obtemos o gráfico da função f(x) = x².

x	y = x2	(x; y)
-3	9	(-3; 9)
-2	4	(-2; 4)
-1	1	(-1; 1)
0	0	(0; 0)
1	1	(1; 1)
2	4	(2; 4)
3	9	(3; 9)

Observação:

Podemos ter uma maior precisão no gráfico marcando mais pontos. Como não podemos marcar uma infinidade de pontos, admitimos uma certa dose de confiança de que o gráfico é aquele que desenhamos.

A curva obtida se chama parábola e toda equação quadrática y = a x² + b x + c tem uma parábola como gráfico. O domínio da função é o conjunto dos números reais e seu conjunto imagem depende dos valores de a, b e c. Para a função f(x) = x² o conjunto imagem é constituído por todos y ≥ 0.

Uma propriedade importante dessa parábola é que ela é simétrica em relação a uma reta vertical que se chama eixo de simetria. O gráfico da equação y = x² é simétrico em relação ao eixo-y. Essa simetria deve-se ao fato de que f(-x) = (-x)² = x² = f(x) e que, portanto, a função é par.

A parábola tem um ponto de retorno, que se chama vértice. O vértice é a intersecção da parábola com o eixo de simetria.

No gráfico da equação y = x² o vértice tem coordenadas (0; 0) e o valor mínimo da função é 0.

Note que, avançando da esquerda para a direita, a curva "desce" até a origem e depois "sobe". Dizemos que f é decrescente e que f é crescente.

 

FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE

 f é crescente sobre o intervalo I se f(x₁) < f(x₂) sempre que x₁ < x₂, em I

f é decrescente sobre o intervalo I se f(x₁) > f(x₂) sempre que x₁ < x₂, em I

Exemplo

Para a função f cujo gráfico está na figura, temos:

intervalo	crescimento/decrescimento
x ≤ - 2 -2 ≤ x ≤ 2 x ≥ 2	f decresce f cresce f decresce

Podemos usar o gráfico da equação y = x² para construirmos os gráficos de outras funções quadráticas. Por exemplo, os gráficos das funções y = x² + 1 e y = x² - 1 podem ser obtidos do gráfico da equação y = x² por translações verticais desse gráfico.

O gráfico de y = x² + 1 é obtido deslocando o gráfico de y = x² + 1 unidade para cima.

O gráfico de y = x² -1 é obtido deslocando o gráfico de y = x² 1 unidade para baixo.

Também, podemos construir os gráficos das funções y = (x - 1)² e y = (x + 1)² a partir do gráfico de y = x², fazendo translações horizontais desse gráfico.

O gráfico de y = (x - 1)² é obtido deslocando o gráfico de y = x² 1 unidade para direita. O vértice está em (1;0) e o eixo de simetria é a reta x = 1.

O gráfico de y = (x + 1)² é obtido deslocando o gráfico de y = x²  uma unidade para a esquerda. O vértice está em (-1;0) e o eixo de simetria é a reta x = - 1.

Nos gráficos que construímos até aqui, o coeficiente de x² é 1. Se o coeficiente é -1, o efeito sobre o gráfico é uma reflexão em relação ao eixo-x.

Então, para a função y = - x² o domínio continua sendo o conjunto dos números reais, mas o conjunto imagem é o conjunto dos números reais y tais que y ≤ 0.

O vértice está em (0; 0) e 0 é valor máximo da função.

x	y = - x2	(x; y)
-3	-9	(-3; -9)
-2	-4	(-2; -4)
-1	-1	(-1; -1)
0	0	(0; 0)
1	-1	(1; -1)
2	-4	(2; -4)
3	-9	(3; -9)

O gráfico de y = - x² é obtido por reflexão do gráfico de y = x² em torno do eixo-x.

Vimos que o gráfico de y = x² tem um ponto de retorno no vértice; ele se dobra "para cima". Dizemos que a curva tem concavidade para cima. O gráfico de y = - x² se dobra para baixo; dizemos que a curva tem concavidade para baixo.

Quando o coeficiente a em y = a x² é diferente de 1, o gráfico dessa função pode ser obtido multiplicando a ordenada y, dos pontos de y = x², pelo número a, como nos exemplos abaixo.

Cada ordenada é a metade da ordenada do gráfico de y = x².

Cada ordenada é o dobro da ordenada do gráfico de y = x².

Note que o gráfico de y = 2 x² está "mais levantado" em relação ao gráfico de y = x²; o gráfico de y = 2 x² "se afasta" do eixo-x. O gráfico de y =  x² "se aproxima" do eixo-x.

Exercícios

1. Desenhar o gráfico da função y = - x² + 3. Dizer onde a função é crescente ou decrescente. Qual é o conjunto-imagem da função?

Resolução

Partimos do gráfico de y = - x²; deslocando-o de 3 unidades "para cima", obtemos o gráfico de y = - x² + 3.

A função y = - x² + 3 é crescente para x ≤ 0 e é decrescente para x ≥ 0. Seu conjunto-imagem é constituído por todos y tais que y ≤ 3.

2.  Desenhar o gráfico da função y = f(x) = (x + 2)² - 2.

Resolução

Partimos do gráfico da função y = x². Deslocando-o "para a esquerda" de 2 unidades, obtemos o gráfico de y = (x + 2)²; depois, deslocando-o "para baixo" de 2 unidades, obtemos o gráfico de y = f(x) = (x + 2)² - 2.

Note que o conjunto-imagem da função f é constituído por todos y tais que y ≥ -2.

3. Desenhar o gráfico da parábola y = 2 (x - 2)² + 1.

Resolução

Começamos com o gráfico de y = 2 x²; deslocando-o 2 unidades "para a direita", obtemos o gráfico de y = 2 (x - 2)².

Então, deslocando-o 1 unidade "para cima" obtemos o gráfico de y = 2 (x - 2)² = 1.

 

O vértice da parábola é o ponto V (2; 1) e o eixo de simetria tem equação x = 2.

Um resumo

Gráfico da equação y =a (x - h)² + k.

O gráfico da equação y = a (x - h)² + k pode ser obtido do gráfico da equação y = a x², deslocando-o h unidades horizontalmente e k unidades verticalmente.

• O deslocamento horizontal é "para a direita" se h > 0, e é "para esquerda" se h < 0.
• O deslocamento vertical é "para cima" se k > 0, e é "para baixo" se k < 0.

O vértice é o ponto V (h ; k); o eixo de simetria é a reta (vertical) de equação x = h.

Se a < 0, o vértice é o ponto "mais alto" da parábola e sua concavidade está voltada "para baixo"; se a > 0, o vértice é o ponto "mais baixo" da parábola e sua concavidade está voltada "para cima".

Completando o quadrado

Vamos desenhar o gráfico da função f(x) = 2 x² - 4 x + 5.

Note que o coeficiente de x² não é 1; então, fatoramos esse coeficiente (colocamos em evidência) nos termos que envolvem x, e em seguida, "completamos o quadrado" dentro dos parênteses.

f(x) = 2x2 - 4x + 5		Colocamos 2 em evidência nos termos em x
= 2 . (x2 - 2x) + 5
= 2 . (x2 - 2x + 1) + 5 - 2		Completamos o quadrado na expressão dentro dos parênteses para preservar a igualdade devemos subtrair 2.
= 2 . (x - 1)2 + 3

Então, a função está escrita na forma y = a (x - k)² + h, e sabemos como desenhar o seu gráfico.

Começamos com o gráfico de y = 2 x², deslocando-o 1 unidade "para a direita" e, em seguida, 3 unidades "para cima". O vértice da parábola resultante é o ponto (1; 3). Sendo a = 2 > 0, a concavidade está voltada "para cima".

O gráfico está desenhado na figura abaixo; observe que f(0) = 5; isto significa que a parábola encontra o eixo-y no ponto (0; 5) ou ainda, que o intercepto-y é o ponto (0; 5). O eixo de simetria é a reta de equação x = 1.

A técnica que acabamos de usar chama-se completar o quadrado.

Esse processo pode ser resumido como segue.

Completar o quadrado Para completar o quadrado em expressões quadráticas da forma x2 + b x, somamos o quadrado da metade de b, o coeficiente de x: = Então, x + bx +=

 

Completando o quadrado, podemos escrever qualquer equação quadrática na forma y = a (x - h)² + k. E, a partir dele, podemos localizar o vértice da parábola (h; k) e escrever a equação do eixo de simetria x = h.

Máximo e mínimo

Vimos que partindo da equação f(x) = a x² + b x + c podemos, completando o quadrado, chegar à equação f(x) = a (x - h)² + k. O gráfico dessa equação pode ser obtido do gráfico da equação y = a x², com deslocamentos horizontais ou verticais. O vértice da parábola resultante é o ponto (h; k). Se a > 0, a parábola tem a concavidade "voltada para cima". Mas se a < 0, a concavidade está "voltada para baixo".

f(x) = a . (x - h)² + k
a > 0, h > 0, k > 0

f(x) = a . (x - h)² + k
a < 0, h > 0, k > 0

Observe na figura que se a > 0, então o ponto "mais baixo" da parábola é o vértice (h; k), de modo que o mínimo valor da função ocorre quando x = h e esse valor mínimo é f(h) = k. De modo análogo, se a < 0, então o ponto "mais alto" da parábola é o vértice (h ; k), de modo que o máximo valor da função ocorre quando x = h e esse valor máximo é f(h) = k.

Valor máximo - valor mínimo A função quadrática f(x) = a x2 + b x + c pode ser escrita na forma f(x) = a (x - h)2 + k completando o quadrado. O gráfico da função é uma parábola com vértice (h ; k); a parábola tem a concavidade "voltada para baixo" se a > 0 e "para cima" se a < 0. Se a > 0, então o valor mínimo da função ocorre quando x = h e esse valor é f(h) = k. Se a < 0, então o valor máximo da função ocorre quando x = h e esse valor é f(x) = k.

Exercícios

1. Dada a função quadrática f:

a) Escrevê-la na forma f(x) = a (x - h)² + k.

b) Esboce o seu gráfico.

c) Determine o valor máximo ou o valor mínimo de f.

f(x) = x² + 4x - 3

Resolução

a) Completando o quadrado, temos

f(x) = (x² + 4x + 4) - 3 - 4

= (x + 2)² - 7

b) O gráfico é uma parábola de vértice (- 2; - 7) e concavidade voltada "para cima"

c) A função tem um valor mínimo que é f(- 2) = -7.

2. Dada a função quadrática f:

a) Escrevê-la na forma f(x) = a (x - h)² + k.

b) Esboce o seu gráfico.

c) Determine o valor máximo ou o valor mínimo de f.

f(x) = - x² + x - 2

Resolução

a) Completando o quadrado temos:

b) O gráfico é uma parábola com vértice , e concavidade voltada "para baixo".

c) A função tem um valor máximo que é .

Transformação da equação f(x) = ax² + bx + c

Quando desejamos desenhar o gráfico da função quadrática f(x) = ax² + bx + c é conveniente escrevê-la na forma f(x) = a (x - h)² + k. Se, entretanto, desejamos o valor mínimo ou o valor máximo da função quadrática, a fórmula f(x) = ax² + bx + c pode, com vantagem, dar a resposta.

Então, completando o quadrado para a função quadrática geral, temos:

f(x) = ax2 + bx + c
= a + c		Colocamos a em evidência nos termos em x
= a		Completamos o quadrado
= a

E, escrevendo b² - 4 a c = Δ, vem

A equação obtida é da forma f(x) = a (x - h)² + k, com h = e k = ; o máximo ou o mínimo valores ocorre quando x = .

Máximo ou mínimo valores de uma função quadrática O valor máximo ou o valor mínimo da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c ocorre em x = Se a > 0, então o valor mínimo é m = Se a < 0, então o valor máximo é M =

Exercícios

1. Dada a função quadrática f determine o valor máximo ou o valor mínimo.

f(x) =  x² + x + 2

Resolução

    é uma função quadrática com a = , b = 1 e c = 2.

Sendo a < 0, a função tem um valor máximo, que ocorre em

Esse valor máximo é

2.  Dada a função quadrática f determine o valor máximo ou o valor mínimo.

f(x) = x² - 10x + 21

Resolução

f(x) = x² - 10x + 21 é uma função quadrática com a = 1, b = -10 e c = 21.

Sendo a > 0, a função tem um valor mínimo, que ocorre em

Em valor mínimo é

f(5) = 5² - 10 . 5 + 21

= - 4

3.  Uma bola é lançada verticalmente para cima, do nível do solo, com uma velocidade igual a 20 m/seg. A altura s da bola, t segundos após o lançamento é dada por s = 20 t - 8 t². Qual é a altura máxima que a bola alcança?

Resolução

Note que s é uma função quadrática de t:

s = - 8t² + 20t

onde a = - 8, b = 20 e c = 0; sua concavidade está voltada "para baixo"; ela tem um valor máximo que ocorre em

O valor máximo de s é

Então, a bola alcança a altura máxima 12,5 m após 1,2 segundos do lançamento

Inequação do 2º grau

Consideremos a função quadrática f(x) = x² - 4 x + 3, na qual a = 1, b = -4 e c = 3.

O seu discriminante é

Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 . 1 . 3 = 4,

isto é,  Δ > 0

Se resolvermos, então, a equação f(x) = 0 ou x² - 4x + 3 = 0, ela admitirá duas raízes:

x =  =

Isto significa que a parábola de equação y = x² - 4x + 3 cruza o eixo-x em dois pontos (interceptos-x): (1; 0) e (3; 0)

Seja agora a função quadrática f(x) = x² - 6x + 9, na qual a = 1, b = - 6 e c = 9.

O seu discriminante é

Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4 . 1 . 9 = 0,

isto é, Δ = 0

Se resolvermos, então, a equação f(x) = 0 ou x² - 6 x + 9 = 0, ela admitirá uma única raiz:

x =

Isto significa que a parábola de equação y = x² - 6 x + 9 toca (tangencia) o eixo-x em um ponto: (3; 0)

Seja finalmente a função quadrática f(x) = x² + x + 2, na qual a = 1, b = 1 e c = 2.

O seu discriminante é

Δ = b² - 4ac = 1² - 4 . 1 . 2 = 7,

isto é,  Δ < 0

Se resolvermos, então, a equação f(x) = 0 ou x² + x + 2 = 0, ela não admitirá raízes.

Isto significa que a parábola de equação y = x² + x + 2 não cruza e nem toca o eixo-x.

O discriminante e a parábola

Δ = b² - 4ac > 0

A equação ax² + bx + c = 0 admite duas raízes reais.

O gráfico de y = ax² + bx + c cruza o eixo-x em dois pontos.

Δ = b² - 4ac = 0

A equação ax² + bx + c = 0 admite uma única raiz real.

O gráfico de y = ax² + bx + c toca (tangencia) o eixo-x.

Δ = b² - 4ac < 0

A equação ax² + bx + c = 0 não tem raízes reais.

O gráfico de y = ax² + bx + c não cruza e nem toca o eixo-x.

Agora, vamos resolver inequações do 2º grau; elas podem ser resolvidas empregando o gráfico da função quadrática associada.

Exemplo

Vamos resolver a inequação x² + 2x - 3 < a.

Seja a parábola y = f(x) = x² + 2x - 3.

A concavidade da parábola está "voltada para cima" a = 1 > 0

Interceptos

= b² - 4ac =2² - 4 . 1 . (-3) = 16

raízes =

Os interceptos-x são (-3; 0) e (1; 0)

Gráfico

y = x² + 2x - 3 é negativo quando a parábola está abaixo do eixo-x; isto é, quando x está entre -2 e 3.

A solução conota de todos os números reais tais que -2 < x < 3, ou o conjunto solução é

S = {x | -2 < x < 3}

Note que a partir da figura acima, também podemos resolver a inequação x² + 2x - 3 > 0;
y = x² + 2x - 3 é positivo quando a parábola está acima do eixo-x, isto é, quando x < - 3 ou x > 1.

Exercícios

1. Resolva a inequação do 2º grau.

x² + x - 6 < 0

Resolução

a = 1: concavidade voltada "para cima"

y = x² + x - 6 é positivo quando a parábola está acima do eixo - x

2.  Resolva a inequação do 2º grau.

(2x + 1) . (3x - 4) < 0

Resolução

Temos:

6x² - 8x + 3x - 4 < 0

6x² - 5x - 4 < 0

a = 6: concavidade voltada "para cima".

y = 6x² - 5x - 4 é negativo quando a parábola está abaixo do eixo - x

3.  Resolva a inequação do 2º grau.

2x² +  x + 1 < 0

Resolução

a = 2: concavidade voltada "para cima".

 é negativo quando a parábola está abaixo do eixo-x

4.  Resolva a inequação do 2º grau.

x² - x + 14 > 4x² - 11x + 17

Resolução

Temos:

x² - x + 14 > 4x² - 11x + 17

x² - x + 14 - 4x² + 11x - 17 > 0

- 3x² + 10x - 3 > 0

a = - 3: concavidade voltada "para baixo".

y = - 3x² + 10x - 3 é positivo quando a parábola está acima do eixo - x.

5. Resolva a inequação do 2º grau.

- 9x² + x > 0

Resolução

a = - 9: concavidade voltada "para baixo"

y = - 9x² + x é positivo quando a parábola está acima do eixo - x.