Polinômios

Estudo dos polinômios

Chama-se polinômio na variável real x, toda a expressão da forma p(x) = a₀xⁿ + a₂x^n-1 + a₂x^n-2 + a_n-1x¹ onde N .

Raiz ou zero do Polinômio

Trata-se do valor de P(x) que faz: P(x) = 0

A existência das raízes da equação P(x) = 0 é garantida pelo teorema fundamental da álgebra, atribuído a D´Alembert: "Toda equação polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa”.

Valor Numérico de um polinômio

Para x = b é representado por P(b) = a₀ . bⁿ + a₁ . b^n-1 + a₂ . b^n-2 +a_n

Grau de um Polinômio

Chama-se grau de um polinômio P(x) ≠ 0, o número n    tal que n é o maior valor de n  , para o qual a_n ≠ 0 (onde n = 0,1,2,3 ...)

Exemplos

P(x) = 2x³ - 3x + 1     Grau 3

P(x) = 5                      Grau 0

P(x) = x² - 3x + 7       Grau 2

Polinômio Nulo

Diz-se que um polinômio P(x) é identicamente nulo se P(a) = 0 para qualquer a.

Operações com Polinômios

Soma / Subtração de Polinômios

Da álgebra elementar temos que nós só podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termos que possuam expoentes iguais.

Exemplos

P(x) = 3x⁴ - 7x³ + 5x² + 12x - 8

Q(x) = x⁴ - 12x² + 7x + 2

P(x) + Q(x) = 4x⁴ - 7x³ - 7x² + 19x - 6

P(x) - Q(x) = 2x⁴ - 7x³ + 17x² + 5x - 10

Multiplicação de Polinômios

Exemplo

(2x² - 7x + 4) . (x³ + 2x) = 2x⁵ + 4x³ - 7x⁴ - 14x² + 4x³ + 8x

Divisão de Polinômios

Método da chave:

Exemplo

Assim o Q(x) =   é o quociente da divisão e R(x)= 9/4 é o resto.

Teoremas

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio p (x) por x – c é o valor numérico de p(x) em c, isto é, o resto é p (c).

Exemplo

     Calcular o resto da divisão de f = x³ - 2x² + 3 por x - 1.

     r = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2

Teorema de D´Alembert

Um polinômio p(x) é divisível por x – c se e somente se p (c) = 0.

Dispositivo de Briot – Ruffini

Dividir x³ - 7x - 6 por x - 3. Observando que x³ - 7x - 6 = x³ + 0x² - 7x - 6, temos:

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