Função Polinomial

Função Polinomial

1. Definições

Polinômio em uma variável

Um polinômio em uma variável x é a soma de termos (expressões) da forma axn, onde a é um número real e n é um número natural.

Por exemplo, as expressões

4x2 - 3x, x4 - 2x3 + x, 4x - 12x5 são polinômios na variável x.

As expressões

, - 1, x-2 + x3

não são polinômios em x

Note que a primeira expressão é um quociente de dois polinômios, e as duas outras têm expoentes que não são naturais.

Um polinômio com um único termo chama-se monômio, com dois termos chama-se binômio e, com três termos, trinômio.

Monômios

Binômios

Trinômios

(um termo)

(dois termos)

(três termos)

4x3

2x2 + 4x

x2 + 2x + 3

- 7x5 + 2

- x4 + 7x2 + x

2. Grau

Grau de um Monômio

Se a 0, o grau de axn é n

Por exemplo, -7x5 tem grau 5; 3 é um monômio de grau zero: 3 = 3x0.

Para o monômio axn = 0, onde a = 0, não se define grau.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o mesmo grau do termo do polinômio com maior grau.

Por exemplo, o polinômio 12x5 - 2x2 + 4x + 7 tem grau 5.

3. Função polinomial

Polinômios em uma variável x são denotados por expressões como

P(x)

Lê-se: “P de x

onde a letra dentro do parênteses representa a variável do polinômio.

Expressões como:

P(x) = x5 - 3x4 + 2x - 2

são chamadas funções polinomiais

De um modo geral, damos a definição que segue.

Função Polinomial é uma função da forma

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

onde an 0, chama-se função polinomial de grau n. Os números a0, a1, a2, ........ , an são os coeficientes do polinômio. O número a0 é o termo independente; o número an é o coeficiente dominante.

4. Raiz de um polinômio

Seja a função polinomial

P(x) = x3 - 3x2 + 4

Para calcular o valor dessa função para um dado valor de sua variável, usamos o mesmo procedimento usado para calcular valores de uma função. Por exemplo, para calcular o valor da função polinomial P(x) para x = 1, substituímos x por 1 e efetuamos as operações indicadas.

P(x) = x3 - 3x2 + 4

P(1) = (1)3 - 3(1)2 + 4

= 1 - 3 + 4

= 2

Raiz da Função Polinomial

Seja P(x) uma função polinomial; se c é um número tal que P(c) = 0, dizemos que c é uma raiz de P(x).

As afirmações seguintes se equivalem, isto é, significam a mesma coisa:

1. c é uma raiz de P(x)

2. x = c é uma raiz da equação P(x) = 0

3. (c; 0) é um intercepto - x do gráfico de P(x).

Exemplo

Para x = 2, o valor da função P(x) = x2 - 5x + 6 é

P(2) = 22 - 5 . 2 + 6

= 4 - 10 + 6

= 0

Então, 2 é uma raiz de P(x) = x2 - 5x + 6; também, 2 é uma raiz da equação

P(x) = x2 - 5x + 6 = 0.s

5. Dividindo polinômio

Sabemos resolver equações do 1º e 2º graus. Para resolvermos equações polinomiais de ordem superior (3º, 4º, ..... graus) é útil poder fatorar os polinômios. Ampliar nossos conhecimentos de fatoração é nosso objetivo; com isso aumentamos nossa capacidade para resolver equações.

Vamos, então, descrever como se efetua a divisão de polinômios.

Por exemplo, para dividir 4x2 - 16x + 4 (divisor) por x - 2 (dividendo), dispomos os polinômios da seguinte forma:

Do dividendo substituímos 4x2 –8x, obtendo o polinômio R1

Dividimos o termo de maior grau de R1
pelo termo de maior grau do divisor

Multiplicamos os divisores por  -8

 

Do polinômio R1 substituímos
–8x + 16, obtendo R

A divisão termina quando o polinômio obtido na última linha tem grau menor que o divisor (ou é nulo).

O resultado obtido pode ser interpretado da seguinte forma:

Divisão

Se A(x) e B(x) são polinômios, com B(x) 0, dividir A(x) por B(x) é determinar o par de polinômios Q(x) e R(x) tais que

A(x) = B(x) . Q(x) + R(x)

onde R(x) é 0 ou tem grau menor que B(x). Os polinômios A(x) e B(x) denominam-se dividendo e divisor, respectivamente; Q(x) é o quociente e R(x) é o resto.

  • Aulas relacionadas

Sumário

- Funções polinomiais
- Definições
- Grau de um polinômio
- Função polinomial
- Raiz de um polinômio
- Dividindo polinômio
- Divisão sintética
- Teorema do Resto
- Teorema do Fator
- Raízes racionais de polinômios
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