Função inversa

FUNÇÃO INVERSA

Função um-para-um

Na figura, observe as funções f e g.

Note que, em f, quaisquer dois números do domínio A têm imagens diferentes mas, em g, 2 e 3 têm a mesma imagem 9. Em símbolos, g(2) = g(3) mas f(x₁) f(x₂) para quaisquer x₁ x₂.

O gráfico de uma função 1-1

Se uma reta horizontal encontra o gráfico de uma função f em mais do que um ponto,

então f não é 1-1

Note que existem x₁ x₂ tais que f(x₁) = f(x₂), o que contraria a definição de função 1-1.

Podemos, então, estabelecer um critério geométrico (gráfico) para decidir se uma função é 1-1.

Exemplos

Seja a função f(x) = x² cujo domínio é o conjunto de todos os números reais.

Note que f(-1) = f(1), isto é, 1 e -1 têm a mesma imagem; a função não é 1-1.

f(x) = x² não é 1-1

Se, entretanto, restringirmos o domínio de f, podemos conseguir uma função 1-1.

Definindo

g(x) = x², x ≥ 0

então, g é 1-1; veja o teste da horizontal.

g(x) = x² (x ≥ 0) é 1-1

Função inversa

A definição diz que se f leva x em y:

f(x) = y

então f ^-1 leva y em x:

f ^-1(y) = x

Note que f ^-1 "desfaz" o efeito de f.

Também, temos

domínio de f ^-1 = conjunto imagem de f

conjunto imagem de f ^-1 = domínio de f

Exemplo

Seja a função f definida pelo diagrama abaixo.

Temos:

f(1) = 10

f(2) = 12

f(4) = 17

f ^-1(10) = 1

f ^-1(12) = 2

f ^-1(17) = 4

Como determinar a inversa

Inicialmente observe que da definição de função inversa temos

Então, se y = f(x) é a fórmula para f, a fórmula para a inversa f ^-1 é x = f ^-1(y). Para obtê-la, resolvemos a equação y = f(x) para x (determinamos x em termos de y). Em seguida, trocamos as letras x e y, e chegamos a y = f ^-1(x), que é a fórmula desejada para a inversa f ^-1.

Exemplo

Vamos determinar a inversa da função f(x) = 2x - 3.

Inicialmente, escrevemos y = f(x).

y = 2x - 3

Resolvemos essa equação para x:

2x = y + 3

x =

Finalmente, trocamos as letras x e y:

y =

Então, a função inversa é f ^-1(x) =

Exercícios

1. Seja a função f(x) = 

Calcular (f ^-1 o f) (x).

Resolução

(f -1o f)(x) = f -1(f (x)) = f -1

= 

= 

= x 

Observação: De um modo geral, sempre se tem

(f ^-1 o f) (x) = (f o f ^-1) (x) = x

O gráfico da inversa

Se para a função f temos f(a) = b, então para a inversa f ^-1, f ^-1(b) = a.

Isto significa que se o ponto (a; b) está no gráfico de f, o ponto (b; a) está no gráfico de f ^-1. Esses dois pontos (a; b) e (b; a) guardam uma propriedade geométrica; são simétricos em relação à reta y = x, isto é, o ponto (b; a) pode ser obtido do ponto (a; b) por reflexão em y = x.

Exemplo

Consideremos a função f(x) = x², x ≥ 0, e vamos determinar sua inversa.

Temos

y = x²

x = (x ≥ 0)

Trocando as letras

y =

e a função inversa é f ^-1(x) =

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