Função Inversa

FUNÇÃO INVERSA

Função um-para-um

Na figura, observe as funções f e g.

f é um-para-um

g não é um-para-um

Note que, em f, quaisquer dois números do domínio A têm imagens diferentes mas, em g, 2 e 3 têm a mesma imagem 9. Em símbolos, g(2) = g(3) mas f(x1) f(x2) para quaisquer x1 x2.

Função um-para-um

Uma função f com domínio A chama-se um-para-um (1-1) se quaisquer dois elementos de A não têm a mesma imagem, isto, é,

f(x1) f(x2) sempre que x1 x2.

 

O gráfico de uma função 1-1

Se uma reta horizontal encontra o gráfico de uma função f em mais do que um ponto,

então f não é 1-1

Note que existem x1 x2 tais que f(x1) = f(x2), o que contraria a definição de função 1-1.

Podemos, então, estabelecer um critério geométrico (gráfico) para decidir se uma função é 1-1.

Teste da horizontal

Uma função f é 1-1 se nenhuma reta horizontal encontra o seu gráfico mais do que uma vez.

Exemplos

Seja a função f(x) = x2 cujo domínio é o conjunto de todos os números reais.

Note que f(-1) = f(1), isto é, 1 e -1 têm a mesma imagem; a função não é 1-1.


f(x) = x2 não é 1-1

Se, entretanto, restringirmos o domínio de f, podemos conseguir uma função 1-1.

Definindo

g(x) = x2, x 0

então, g é 1-1; veja o teste da horizontal.


g(x) = x2 (x 0) é 1-1

Função inversa

Definição

Seja f uma função 1-1, com domínio A e conjunto imagem B. Então, sua função inversa f -1 tem domínio B e conjunto imagem A e é definida por

f -1(y) = x f(x) = y

para todo y em B

 

A definição diz que se f leva x em y:

f(x) = y

então f -1 leva y em x:

f -1(y) = x

Note que f -1 "desfaz" o efeito de f.

Também, temos

domínio de f -1 = conjunto imagem de f

conjunto imagem de f -1 = domínio de f

Exemplo

Seja a função f definida pelo diagrama abaixo.

Temos:

f(1) = 10

f(2) = 12

f(4) = 17

f -1(10) = 1

f -1(12) = 2

f -1(17) = 4

Como determinar a inversa

Inicialmente observe que da definição de função inversa temos

Então, se y = f(x) é a fórmula para f, a fórmula para a inversa f -1 é x = f -1(y). Para obtê-la, resolvemos a equação y = f(x) para x (determinamos x em termos de y). Em seguida, trocamos as letras x e y, e chegamos a y = f -1(x), que é a fórmula desejada para a inversa f -1.

Determinação da fórmula da inversa

1. Escrevemos y = f(x)

2. Resolvemos essa equação para x (em termos de y)

3. Trocamos as letras, x por y e y por x.

O resultado é a equação y = f -1(x), para a função inversa.

Exemplo

Vamos determinar a inversa da função f(x) = 2x - 3.

Inicialmente, escrevemos y = f(x).

y = 2x - 3

Resolvemos essa equação para x:

2x = y + 3

x =

Finalmente, trocamos as letras x e y:

y =

Então, a função inversa é f -1(x) =

Exercícios

1. Seja a função f(x) = 

Calcular (f -1 o f) (x).

Resolução

(f -1o f)(x) = f -1(f (x)) = f -1

x 

Observação: De um modo geral, sempre se tem

(f -1 o f) (x) = (f o f -1) (x) = x

Sumário

- Função um-para-um
- O gráfico de uma função 1-1
- Função inversa
- Como determinar a inversa
- O gráfico da inversa
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