Função Exponencial e Logarítmica

Função Exponencial e Logarítmica

Definição

O logaritmo de "a" na base "b" é o expoente "c" que devemos dar a "b" para que este fique igual ao número "a". Nestas condições dizemos:

log_ba =  c   b^c =  a

b > 0

b 1

a  > 0

Exemplo

   pois      2⁶ = 64

Obs.

I - Em as condições de existência devem ser:     

9 - x > 0   x < 9

x - 3 > 0  x > 3

x - 3 1  x  4

II - Quando não se menciona a base, esta é o número 10.

Exemplo

Característica e Mantissa

Em logx = c + m, onde c Z e, é denominado característica, e m mantissa vem do latim, significando excesso.

Exemplos

     log2 = 0,301 onde c = 0 e m = 0,301

     log20 = 1,301 onde c = 1 e m = 0,301.

     log 200 = 2,301 onde c = 2 e m = 0,301.

Assim, se x  1, a característica é a quantidade de algarismos da parte inteira de x, menos 1.

     log0,2 = -1 + 0,301 =        onde c = -1 e m = 0,301.

     log0,02 = -2 + 0,301 =     onde c = - 2 e m = 0,301.

Assim, se 0 < x < 1, a característica é a quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo não nulo, aferida de sinal negativo.

Equações e Inequações Logarítmicas

São casos onde nós temos que reduzir as equações que estão envolvendo logaritmos e exponenciais a expressões do tipo:

a = b,      log_a b = x ,      d^x <  d^y     ou      log_a b < y                        

Assim vejamos:

3^2x = 81 . 3^{x + 2}

3^2x = 3⁴ . 3^{x + 2}

3^2x = 3^4+x+2

3^2x = 3^x+6              2x = x + 6

                                     x = 6

Exemplos

x = 2⁰ = 1 ou x = 2² = 4

Função Logarítmica

Função logarítmica é uma função definida em  com imagem, , onde a R e 0 < a 1.

Se a > 1, a função será estritamente crescente, e portanto, uma desigualdade entre os dois elementos do domínio, conservará o seu sentido entre os elementos correspondentes do conjunto imagem. Caso contrário, ou seja, se 0 < a < 1, f será estritamente decrescente, e, portanto, inverterá o sentido da desigualdade.

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