Fatoração de expressão algébrica

Fatoração de expressão algébrica

1. O fator comum

Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto de fatores.

Exemplos

A propriedade distributiva nos dá um primeiro método de fatoração. Retomando a expressão ka + kb temos:

Essa igualdade pode ser escrita assim

ka + kb = k . (a + b)

Então, note que (lendo da esquerda para direita), a soma algébrica ka + kb foi transformada no produto k . (a + b); dizemos então que fatoramos ka + kb ou que k . (a + b) é uma forma fatorada de ka + kb. Também dizemos que k é um fator comum às parcelas ka e kb, e que ele é colocado em evidência quando fatoramos ka + kb.

Na expressão

F = x2y - ax3

x2 é fator comum às parcelas; então

F = x2 . y - x2 . ax

x3 = x2 . x

Colocando x2 em evidência temos

F = x2 . ( y - ax ),

que é a forma fatorada de F.

Em F, note que x é (também) fator comum às duas parcelas. Entretanto, devemos colocar em evidência o fator afetado com o maior expoente possível (o MDC dos monômios).

Exercícios

1. Fatore 6a2b3 + 8a3b2.

Resolução

O fator comum (MDC) dos dois termos é 2a2b2; então,

6a2b3 + 8a3b2 = 2a2b2 . 3b + 2a2b2 . 4a

2a2b2 . (3b + 4a)

2. Fatore 3xy2z3 + 6xyz3 - 3xz2.

Resolução

Note que,

3xy2z3 = 3 . x . y . y . z . z . z

6xyz3 = 3 . 2 . x . y . z . z . z

3xz2 = 3 . x . z . z

O fator comum (MDC) dos três termos é 3xz2; então,

3xy2z3 + 6xyz3 + 3xz3 = 3xz2 . y2z + 3xz2 . 2yz - 3xz2

                                    = 3xz2 . (y2z + 2yz- 1)

2. A fatoração por agrupamento

Para fatorarmos certas expressões algébricas, muitas vezes precisamos agrupar suas parcelas para fazermos aparecer um fator comum.

Exemplo

Vamos fatorar a expressão

E = ax + ay + bx + by

Nela não há um fator comum às quatro parcelas. Mas, para as duas primeiras temos

ax + ay = a . (x + y),

e para as duas últimas,

bx + by = b . (x + y)

Então,

E = ax + ay + bx + by

= a (x + y) + b (x + y)

Agora, x + y é fator comum às duas parcelas; daí

E = (x + y) (a + b)

Exercícios

1. Fatore a expressão E = a2 + ba + 2a + 2b

Resolução

Temos:

E = a2 + ba + 2a + 2b

= a . a + b . a + 2 . a + 2 . b

= a (a + b) + 2 (a + b)

Note que a + b é fator comum às duas parcelas; então

E = (a + b) (a + 2)

2. Fatore a expressão =3ax2 + 3bx2 + a + 5bx + 5ax + b

Resolução

Temos:

= 3ax2 + 3bx2 + a + b +5ax + 5bx

= 3x2 . a + 3x2 . b + a + b + 5x . a + 5x . b

= 3x2 . (a + b) + 1 . (a + b) + 5x . (a + b)

(a + b) (3x2 + 1 + 5x)

A ordem das parcelas foi alterada

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Sumário

- O fator comum
- A fatoração por agrupamento
- A diferença de dois quadrados
- O trinômio quadrado perfeito
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