Equações

EQUAÇÕES

Equações de 1º e 2º graus

O problema

Quando escrevemos uma equação, como por exemplo

"x2 - 2x = x - 4"

propomos o seguinte problema:

"Quais são os valores de x para os quais a igualdade é verdadeira?"

Resolver uma equação é dar resposta ao problema, isto é, é encontrar todos os valores de x que verificam (satisfazem) a igualdade. Tais valores (números) são as raízes ou as soluções da equação.

Na escritura de uma equação, como a do exemplo acima, a letra x (ou y, z, t, a, ...) chama-se incógnita.

Conjunto-solução de uma equação é o conjunto cujos elementos são todas as raízes (ou soluções) da equação.

Duas equações dizem-se equivalentes se possuem o mesmo conjunto-solução.

As transformações

De um modo bem geral, para resolvermos uma equação transformamos suas escrituras. Por exemplo, para resolvermos uma equação como

2x + 4 = 8 + x,

transformamos sua escritura até isolarmos a incógnita em um dos dois membros.

As transformações mais importantes estão descritas a seguir.

Transformação TE1

Dada uma equação aos seus dois membros podemos somar (ou subtrair) um mesmo número. A equação assim obtida é equivalente a equação dada

Transformação TE2

Dada uma equação, seus dois membros podem ser multiplicados (ou divididos) por um mesmo número diferente de zero. A equação assim obtida é equivalente a equação dada.

Equações do 1º grau

Equação do 1º grau

Uma equação do 1º grau na incógnita x é qualquer equação que pode ser escrita na forma

ax + b = 0

(a e b são números reais e a  0)

Equação - produto

Sabemos que, se a e b são números com a . b = 0, então a = 0 ou b = 0. Esse resultado estabelece que se o produto de dois ou mais fatores é zero então ao menos um dos fatores é zero.

Essa propriedade nos dá um poderoso método para a resolução de equações. Por exemplo, vamos resolver a equação

4x2 + 8x = 0

Inicialmente, fatoramos o 1º membro da equação:

4x . x + 4x . 2 = 0

4x . (x + 2) = 0

Sendo zero o produto de 4x por x + 2, então ao menos um desses fatores deve ser zero. Igualamos a zero cada fator e resolvemos as equações em x assim obtidas:

4x = 0       ou       x + 2 = 0
 x = 0                      x = -2

Ambos os valores encontrados 0 e -2 são raízes da equação 4x2 + 8x = 0; daí, seu conjunto-solução é

S = {0; -2}.

Resolução de um problema com auxílio de uma equação

Há problemas, mesmo problemas de nosso dia a dia, que podem ser resolvidos com auxílio de equações, desde que seus enunciados sejam convenientemente traduzidos na linguagem da matemática.

Para essa resolução, devemos organizar o nosso trabalho em etapas.

1ª) Leitura atenciosa do enunciado.

2ª) Escolha das incógnitas.

3ª) Tradução do enunciado em equações.

4ª) Resolução dessas equações.

5ª) Conclusão, na qual confrontamos os resultados encontrados com as limitações que o enunciado impõe às incógnitas.

Exemplo

Uma pessoa dispõe de material para construir 28 m de cerca. Com esse material ele deseja construir um canil com a forma de um retângulo, de modo que o comprimento seja maior que a largura em 6 m. Quais devem ser as dimensões do canil?

O perímetro do retângulo (soma das medidas de seus lados) é 28. Se escolhermos x para representar a largura do canil, x + 6 representa o seu comprimento.

O perímetro do retângulo pode ser expresso por 2x + 2 (x + 6) ou por 28.

Então,

2x + 2 (x + 6) = 28

Resolvemos a equação obtida.

Daí, x + 6 = 10

As dimensões do canil são 6 m e 10 m.

Sumário

- Equações de 1º e 2º graus
- As transformações
- Equação do 1º grau
- Equação - produto
- Resolução de um problema com auxílio de uma equação
- Porcentagem
- Equação do 2º Grau
- Resolução da equação do 2º grau
- Propriedade
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