Composição de Funções

COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Função composta

Sejam as funções f e g dadas por

f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2.

Tomemos um valor do domínio de f; por exemplo, x = 2. Então, obtemos

f(2) = 2 . 2 + 1 = 5

Agora, usamos esse resultado como um valor do domínio de g, para obter

g(5) = 52 = 25.

Essas duas construções, uma depois da outra, podem ser resumidas assim

Lê-se
"g de f de 2"

 

g(f (2)) = g(5) = 25

Note que o valor x = 2, no domínio de f, produz um valor igual a 5, no conjunto imagem de f; este, por sua vez, é um valor do domínio de g, e produz o valor 25 no conjunto imagem de g.

Então, dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2, podemos construir a função h definida como

h(x) = g(f(x))

= g(2x + 1)

= (2x + 1)2.

A função h é construída a partir das funções f e g da seguinte forma: dado um número x inicialmente aplicamos sobre ele a função f e, ao resultado obtido, aplicamos a função g. Para a função f a regra é "multiplicar por 2 e somar 1", e a regra para g é "elevar ao quadrado"; a regra resultante para h é "multiplicar por 2, somar 1 e elevar ao quadrado".

Obtemos a regra para h aplicando a regra para f e, em seguida, a regra para g.

De um modo geral, dadas as funções f e g, começamos com o número x no domínio de f e calculamos sua imagem f(x). Se esse número está no domínio de g, então calculamos sua imagem dada pela função g, que é g(f(x)). O resultado é uma nova função h(x) = g(f(x)), obtida por substituição em g(x), de x por f(x). Ela se chama composta de g e f e recebe a notação

gof

Lê-se
"g bola f"

Função composta

Dadas as funções f e g, a função composta gof é definida por

(gof)(x) = g(f(x))

Exercícios

1. Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x - 2

a) Determinar as funções gof e fog.

b) Determinar (gof) (-4) e (fog) (6).

Resolução

a) 

(gof)(x) = g(f(x))

Definição de gof

= g(x2 + 1)

Definição de f

= (x2 + 1) – 2

Definição de g

= x2 – 1

 

 

(fog)(x) = f(g(x))

Definição de fog

= f (x – 2)

Definição de g

= (x – 2)2 + 1

Definição de f

= x2 – 4x +5

 

Na construção de gof, f tem a regra "elevar ao quadrado e somar 1" e g tem a regra "subtrair 2". A função gof, primeiro "eleva ao quadrado e soma 1" e depois, "subtrai 2". Note que a função fog, primeiro "subtrai 2" e depois, "eleva ao quadrado e soma 1".

b) Temos: (gof) (-4) = g(f (-4))

= g(17)

= 15 

(fog) (6) = f(g (6))

= f (4)

= 17 

Observação:

De um modo geral, gof fog. Em gof, a primeira função que se aplica é f, e em seguida, g; em fog, a primeira função que se aplica é g e, depois, f.

2.  Se f(x) =  e g(x) = 2x - 1, determine

a) (gof) (x)

b) (fog) (x)

c) (gof) (8)

d) (fog) (14)

Resolução

a) Temos:

(gof)(x) = g(f(x))

Definição de gof

= g()

Definição de f

= 2 - 1

Definição de g

b) Temos:

(fog)(x) = f(g(x))

Definição de fog

= f(2x - 1)

Definição de g

Definição de f

c) (gof) (8) = g (f (8)) = g (2) = 3

d) (fog) (14) = f (g (14)) = f (27) = 3