Leis de Kepler
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Os movimentos dos astros
Desde a Antiguidade, os estudiosos procuraram explicar os movimentos dos astros. Na Grécia antiga a explicação mais aceita era a de que a Terra estava fixa no centro do Universo enquanto os outros astros giravam em torno dela: O Sol, a Lua os planetas e as estrelas.
Porém, logo os astrônomos perceberam que os dados obtidos pela observação não se encaixavam nessa teoria. Assim, no século II D.C. o grego Cláudio Ptolomeu propôs uma alteração nesse modelo: O Sol e a Lua girariam em torno da Terra mas cada planeta giraria em torno de um ponto o qual por sua vez girariam em torno da Terra (Fig. 1).
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Fig. 1 - Modelo de Ptolomeu
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Fig. 2 Ptolomeu
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O modelo de Ptolomeu foi chamado de geocêntrico pois a Terra estaria no centro. Esse modelo foi aceito até o século XVI, quando o polonês Nicolau Copérnico propôs um modelo heliocêntrico (Sol no centro) segundo o qual o Sol estaria no centro do Universo e os planetas girariam em torno do Sol, em trajetórias circulares (Fig.3).
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Fig. 3 - Modelo heliocêntrico de Copérnico
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Fig. 4 - Copérnico (1473 - 1543)
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É importante observar que naquela época ainda não se sabia da existência dos planetas Urano, Netuno e Plutão (até 2006 Plutão era considerado um planeta principal. Atualmente Plutão é classificado um planeta-anão).
Porém, esse modelo também não explicava adequadamente as observações. O modelo mais adequado só foi obtido no século seguinte com o trabalho de Kepler.
Primeira Lei de Kepler
O trabalho do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) foi fundamental para o modelo de Kepler.
Brahe anotou cuidadosamente, durante muitos anos, as posições do Sol, da Lua e dos planetas. Após a morte de Brahe, o seu discípulo alemão Johannes Kepler passou dezessete anos estudando essas anotações.
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Fig. 5 - Tycho Brahe
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Fig. 6 - Johannes Kepler (1571 - 1630)
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Kepler concluiu que o único modo de interpretar as observações era abandonar a ideia das trajetórias circulares e admitir que os planetas (inclusive a Terra) girariam em torno do Sol em trajetórias que têm a forma de elipses (Fig.7).
Como aprendemos nas aulas de Geometria, a elipse é uma figura definida a partir de dois pontos chamados focos (F1 e F2 na Fig. 8). Na Fig.8 pegamos três pontos quaisquer da elipse (X, Y e Z). Pela definição de elipse, devemos ter:
Todas as conclusões de Kepler estão reunidas em três leis, sendo a primeira:
Cada planeta gira em torno do Sol em trajetória elíptica, de modo que o Sol fica em um dos focos da elipse. |
Segunda Lei de Kepler
O segmento de reta que liga o Sol a um planeta descreve uma área que é proporcional ao tempo de percurso. |
Assim, na Fig. 9, se A é a área varrida no intervalo de tempo , devemos ter:
onde k é uma constante.
Essa lei tem uma consequência importante. Para percebê-la, observemos a Fig. 10. Suponhamos que as áreas A1 e A2 sejam iguais. Pela segunda lei, isto significa que o tempo (para ir de X até Y) deve ser igual ao tempo
(para ir de Z até W). Mas, pela figura percebemos que o arco
tem comprimento maior que o arco
Como esses arcos foram descritos no mesmo intervalo de tempo , concluímos que:
"no trecho XY, a velocidade escalar média foi maior do que no trecho ZW"
Assim, a velocidade escalar de um planeta não é constante. Ele move-se mais rapidamente quando está próximo do Sol e mais lentamente quando está longe do Sol. Dito de outro modo:
- quanto mais longe do Sol, menor a velocidade
- quanto mais perto do Sol, maior a velocidade
Terceira Lei de Kepler
Para cada planeta, Kepler fez medidas cuidadosas de duas grandezas: o período de translação e o raio médio da órbita.
O período de translação (T) é o tempo gasto pelo planeta para dar uma volta completa em torno do Sol.
O raio médio da órbita (R) é a distância entre o centro (C) da elipse (Fig.11) e o ponto da órbita que está mais afastado do Sol (afélio). O valor de R pode ser também obtido fazendo:
A distância entre o periélio e o afélio é também chamada de eixo maior da elipse. Assim a distância média R é também chamada de semieixo maior da elipse
Há casos em que a elipse é muito pouco achatada, sendo praticamente uma circunferência. é o caso, por exemplo, dos planetas Vênus e Netuno. Nesses casos, o raio médio R é o próprio raio da circunferência.
Os cálculos de Kepler levaram-no à conclusão de que:
Aulas relacionadas
Sumário
- Os movimentos dos astros- Primeira Lei de Kepler
- Segunda Lei de Kepler
- Terceira Lei de Kepler
- Satélites de um planeta



