Leis de Kepler

Os movimentos dos astros

Desde a Antiguidade, os estudiosos procuraram explicar os movimentos dos astros. Na Grécia antiga a explicação mais aceita era a de que a Terra estava fixa no centro do Universo enquanto os outros astros giravam em torno dela: O Sol, a Lua os planetas e as estrelas.

Porém, logo os astrônomos perceberam que os dados obtidos pela observação não se encaixavam nessa teoria. Assim, no século II D.C. o grego Cláudio Ptolomeu propôs uma alteração nesse modelo: O Sol e a Lua girariam em torno da Terra mas cada planeta giraria em torno de um ponto o qual por sua vez girariam em torno da Terra (Fig. 1).

Fig. 1 - Modelo de Ptolomeu	Fig. 2 Ptolomeu

O modelo de Ptolomeu foi chamado de geocêntrico pois a Terra estaria no centro. Esse modelo foi aceito até o século XVI, quando o polonês Nicolau Copérnico propôs um modelo heliocêntrico (Sol no centro) segundo o qual o Sol estaria no centro do Universo e os planetas girariam em torno do Sol, em trajetórias circulares (Fig.3).

Fig. 3 - Modelo heliocêntrico de Copérnico	Fig. 4 - Copérnico (1473 - 1543)

É importante observar que naquela época ainda não se sabia da existência dos planetas Urano, Netuno e Plutão (até 2006 Plutão era considerado um planeta principal. Atualmente Plutão é classificado um planeta-anão).

Porém, esse modelo também não explicava adequadamente as observações. O modelo mais adequado só foi obtido no século seguinte com o trabalho de Kepler.

Primeira Lei de Kepler

O trabalho do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) foi fundamental para o modelo de Kepler.

Brahe anotou cuidadosamente, durante muitos anos, as posições do Sol, da Lua e dos planetas. Após a morte de Brahe, o seu discípulo alemão Johannes Kepler passou dezessete anos estudando essas anotações.

Fig. 5 - Tycho Brahe	Fig. 6 - Johannes Kepler (1571 - 1630)

Kepler concluiu que o único modo de interpretar as observações era abandonar a ideia das trajetórias circulares e admitir que os planetas (inclusive a Terra) girariam em torno do Sol em trajetórias que têm a forma de elipses (Fig.7).

Como aprendemos nas aulas de Geometria, a elipse é uma figura definida a partir de dois pontos chamados focos (F₁ e F₂ na Fig. 8). Na Fig.8 pegamos três pontos quaisquer da elipse (X, Y e Z). Pela definição de elipse, devemos ter:

Todas as conclusões de Kepler estão reunidas em três leis, sendo a primeira:

Segunda Lei de Kepler

Assim, na Fig. 9, se A é a área varrida no intervalo de tempo , devemos ter:

onde k é uma constante.

Essa lei tem uma consequência importante. Para percebê-la, observemos a Fig. 10. Suponhamos que as áreas A₁ e A₂ sejam iguais. Pela segunda lei, isto significa que o tempo (para ir de X até Y) deve ser igual ao tempo (para ir de Z até W). Mas, pela figura percebemos que o arco tem comprimento maior que o arco

Como esses arcos foram descritos no mesmo intervalo de tempo , concluímos que:

"no trecho XY, a velocidade escalar média foi maior do que no trecho ZW"

Assim, a velocidade escalar de um planeta não é constante. Ele move-se mais rapidamente quando está próximo do Sol e mais lentamente quando está longe do Sol. Dito de outro modo:

• quanto mais longe do Sol, menor a velocidade
• quanto mais perto do Sol, maior a velocidade

Terceira Lei de Kepler

Para cada planeta, Kepler fez medidas cuidadosas de duas grandezas: o período de translação e o raio médio da órbita.

O período de translação (T) é o tempo gasto pelo planeta para dar uma volta completa em torno do Sol.

O raio médio da órbita (R) é a distância entre o centro (C) da elipse (Fig.11) e o ponto da órbita que está mais afastado do Sol (afélio). O valor de R pode ser também obtido fazendo:

A distância entre o periélio e o afélio é também chamada de eixo maior da elipse. Assim a distância média R é também chamada de semieixo maior da elipse

Há casos em que a elipse é muito pouco achatada, sendo praticamente uma circunferência. é o caso, por exemplo, dos planetas Vênus e Netuno. Nesses casos, o raio médio R é o próprio raio da circunferência.

Os cálculos de Kepler levaram-no à conclusão de que:

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