Lançamento oblíquo

Na Fig.1 representamos um jogador chutando uma bola de futebol. A bola sai do pé do jogador com velocidade que forma ângulo com a horizontal (Fig.2).

Para estudar o movimento da bola fazemos a decomposição de em duas componentes: uma componente horizontal e uma componente vertical .

Fig. 2
Fig. 3

Durante o movimento da bola, desprezando a resistência do ar, a componente permanece constante. Porém, a componente vertical da velocidade vai diminuindo (Fig.4) até que se anula, quando a bola atinge a altura máxima. A seguir, durante a descida da bola, a componente vertical vai novamente aumentando.

Para analisar esse movimento, estudamos separadamente o movimento horizontal e o movimento vertical.

O movimento horizontal é uniforme, com velocidade constante. O movimento vertical é uniformemente variado com velocidade inicial .

A distância D entre os pontos P e Q é chamada de alcance horizontal.

Altura e Alcance Máximo

Mantendo fixo o módulo de , pode-se demonstrar que o alcance horizontal é máximo, quando o ângulo entre e a horizontal for igual a 45°.

Exemplo 1

Uma partícula é lançada a partir do solo com velocidade inicial formando ângulo com a horizontal, como mostra a figura. São dados: Vo = 50 m/s; sen = 0,80; cos = 0,60; g= 10 m/s2. Calcule a altura máxima atingida pela partícula e o alcance horizontal.

Resolução

A velocidade inicial é decomposta nas componentes e , cujos módulos são:

= Vo cos = (50m/s) (0,60) = 30 m/s

Voy = Vo sen = (50m/s) (0,80) = 40 m/s

Para estudar o movimento adotamos um par de eixos x e y como ilustra a Fig. b.

O movimento horizontal é uniforme e, assim, obedece à equação:

s

x
=

=
s0

0
+

+
V0 t

Vx . t
x = 30 t (I)

O movimento vertical é uniformemente variado de aceleração negativa pois o eixo foi orientado para cima:

a = - g = -10 m/s2

A equação horária do espaço é:

s = s0 + V0 t + a/2 t2
 
         
y =
0
+ V0y . t - g/2 t2
y = 40 t - (5,0) t2 (II)

A equação horária da velocidade é:

v

vy
=

=
vo

voy
+

+
at

gt

vy = 40 - 10 t   (III)

A altura máxima é atingida no instante em que vy = 0. Assim, da equação III tiramos:

vy = 40 - 10 t

0 = 40 - 10 t

ts = 4,0 (tempo de subida)

Introduzindo esse tempo na equação I, obtemos a altura máxima:

t = 4,0 s y = 40 (4,0) - (5,0) (4,0)2

y= 160 - 80

y máx = 80 m

Se o tempo de subida é 4,0 s , o tempo total, até atingir o solo é 8,0 s. Introduzindo na equação (I) obtemos o alcance D:

t = 8,0 s x = 30 (8,0) x = 240 D = 240 m

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