Hidrodinâmica

Nas aulas anteriores estudamos o comportamento dos fluidos em repouso. Esse estudo é denominado Fluidostática (ou Hidrostática). Nesta aula iniciaremos o estudo do comportamento dos fluidos em movimento, o qual é denominado Fluidodinâmica ou Hidrodinâmica.

Líquido em caixa acelerada

Quando uma caixa contém líquido em repouso a superfície livre do líquido fica horizontal (Fig. 1). Porém, se a caixa adquirir movimento horizontal com aceleração (Fig. 2), a superfície livre do líquido se inclina, formando um ângulo com a horizontal.

O ângulo q está relacionado com a aceleração . Para obter essa relação vamos considerar as forças atuantes em uma partícula do líquido que esteja na superfície (Fig. 3).

Fig. 03	Fig. 04

Além do peso há a força exercida pelo restante do líquido sobre a partícula. A resultante dessas forças é que deve ter a mesma direção e sentido da aceleração . Sendo m a massa da partícula temos:

FR = m . a P = m . g

No triângulo sombreado na figura temos:

Assim: a = g . tg 

Vazão

Consideremos um fluido em movimento em um cano cilíndrico com velocidade constante v.

Num intervalo de tempo , passa um volume V do fluido por uma seção reta S do cano. A vazão do fluido nesse cano é definida por:

Exemplo 1

Pela seção reta de um cano passam 720 litros de um fluido a cada minuto. Calcule a vazão do fluido no cano, em litros/segundo, cm³/s e m³/s.

Resolução

Para = 1 min = 60s

temos: V = 720 litros = 720 L

Assim:

Lembrando que 1 L = 10³ cm³ temos:

A relação entre cm³ e m³ é:

1 cm³ = 10^-6 m³

Assim: = 12 . 10³ cm³ / s = 12 . 10³ . 10^-6 m³ / s

= 12 . 10^-3 m³ / s

Seja A a área da seção do cano. Num intervalo de tempo o fluido que passa por uma seção reta S₁ preenche o volume sombreado na figura 6, que é o volume de um cilindro de área A e altura h = v . (). Esse volume é dado por:

V = A . h

V = A . (v . )

Portanto a vazão é:

= A . v

Exemplo 2

Por um cano de seção reta de área A = 4,0 cm² passa um líquido com velocidade v = 30 cm/s. Calcule a vazão de líquido através desse cano.

Resolução

= A . v

Equação de continuidade

Consideremos um fluido incompressível percorrendo um tubo de seção reta variável como ilustra a figura. Se o fluido é incompressível, a vazão é constante, isto é, a vazão através da seção S₁ deve ser igual à vazão através da seção S₂. Portanto, se v₁ é a velocidade do fluido ao passar por S₁ e v₂ é a velocidade ao passar por S₂, temos:

= A₁ . v₁

= A₂ v₂

Assim: A₁ v₁ = A₂ v₂

Essa equação é conhecida por equação de continuidade.

Exemplo 3

Um líquido passa por um cano como mostra a figura, sendo A₁ = 60 cm² e A₂ = 15 cm². O líquido passa por S₁ com velocidade v₁ = 5,0 cm / s. Calcule a velocidade ao passar por S₂.

Resolução

Pela equação de continuidade temos:

A₁ v₁ = A₂ v₂

(60) (5,0) = (15) . v₂

v₂ = 20 cm/s

Lei de Bernouilli

No estudo da Hidrostática vimos a lei de Stevin, que vale para líquidos em repouso. Quando o líquido está em movimento, ela não vale mais, para esse caso, existe uma outra equação deduzida pelo físico Daniel Bernouilli (1700-1782).

Consideremos um fluido em movimento, de modo que passa por um ponto A, de altura h_A com velocidade v_A e por um ponto B, de altura h_B, com velocidade v_B.

Fig. 8

Sendo P_A a pressão no ponto A e P_B a pressão no ponto B, Bernouilli descobriu que:

onde d é a densidade do fluido.

Exemplo 4

Na figura abaixo representamos dois pontos A e B situados no mesmo nível, dentro de um cano pelo qual flui um líquido de densidade d = 8,0 . 10² kg/m³. A velocidade no ponto A é v_A = 4,0 m/s e no ponto B é v_B = 6,0 m/s. Sabendo que a pressão no ponto A é P_A = 2,0 . 10⁴ P_a, calcule a pressão no ponto B.

Resolução

Neste caso os pontos A e B têm o mesmo nível e, portanto, h_A = h_B = h. Assim, a equação de Bernouilli fica:

ou

Assim

2,0 . 10⁴ + 0,64 . 10⁴ = P_B +1,44 . 10⁴

2,64 . 10⁴ = P_B + 1,44 . 10⁴

P_B = 2,64 . 10⁴ - 1,44 . 10⁴

P_B = 1,20 . 10⁴ Pa

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