Gráficos do Movimento Uniforme

Gráfico do espaço em função do tempo

Consideremos um objeto em movimento uniforme. Como vimos no capítulo anterior, uma das maneiras de fornecer a posição do objeto em cada instante é apresentando a equação horária do espaço. Porém, há outros modos. Para percebermos isso vamos considerar o exemplo a seguir.

Na Fig. 1 representamos algumas posições de um automóvel que tem velocidade escalar constante v = 10 m/s.

Observe que o intervalo de tempo entre duas imagens sucessivas é 1 segundo. Portanto, como a velocidade é 10 m/s, a distância entre duas imagens sucessivas é 10 metros.

Um modo de fornecer as posições do automóvel em cada instante é por meio de uma tabela como a representada abaixo. Nessa tabela, na primeira coluna representamos o tempo, em segundos (s); na segunda coluna representamos os espaços, em metros (m).

t (s)
s (m)
 
0
20
ponto A
1
30
ponto B
2
40
ponto C
3
50
ponto D
 

Com os valores dessa tabela podemos construir um gráfico. Para isso adotamos dois eixos perpendiculares (Fig. 2).

No eixo vertical colocamos os valores do espaço e no eixo horizontal colocamos os valores de tempo.

Cada linha da tabela nos dá um ponto.

Na primeira linha temos t = 0s e s = 20 m ; esse par de valores nos dá o ponto A do gráfico.

Na segunda linha temos t = 1s e s = 30 m ; esse par de valores nos dá o ponto B do gráfico.

Na terceira linha temos t = 2s e s = 40 m ; esse par de valores nos dá o ponto C do gráfico.

Na quarta linha temos t = 3s e s= 50 m ; esse par de valores nos dá o ponto D.

É fácil perceber que, se ligarmos esses pontos obteremos uma linha reta. (Fig. 3)

Na realidade isso não deveria nos surpreender se repararmos na equação horária do espaço. Da tabela tiramos que, para t = 0 temos s = 20 m, isto é, o espaço inicial é 20 m.

s0 = 20 m

Portanto, a equação horária do espaço desse automóvel é:

Como vemos, é uma equação de primeiro grau e, nas aulas de Matemática, aprendemos que o gráfico correspondente a uma equação de primeiro grau é uma linha reta.

Consideremos agora o exemplo representado na Fig. 4.

Nesse caso temos uma partícula com movimento retrógrado sobre uma estrada curva. No instante t = 0 a partícula está na posição s = 30 m, isto é, s0 = 30 m. Podemos perceber que a cada 2 segundos a partícula move-se 10 metros. Portanto a velocidade da partícula é, em módulo:

Se levarmos em conta que o movimento é retrógrado, consideramos a velocidade como sendo negativa:

v = - 5 m/s

Com os valores da Fig. 4 podemos construir um gráfico como na Fig. 5.

Nesse gráfico temos:

para t = 0   s = 30 m

para t = 2s  s = 20 m

para t = 4s  s = 0 m

para t = 5s  s = -10 m

Se ligarmos esses pontos obteremos uma linha reta:

é importante observar neste exemplo que a trajetória da partícula é curva (Fig. 4), no entanto o gráfico é retilíneo. A forma do gráfico não tem nada a ver com a forma da trajetória. O fato de o gráfico ser retilíneo é consequência de o movimento ser uniforme.

Conclusões

Reunindo as observações anteriores podemos dizer que, em geral, quando o movimento é uniforme, o gráfico do espaço em função do tempo é retilíneo. Essa reta porém pode ter duas inclinações, dependendo do sinal da velocidade.

Quando a velocidade escalar é positiva, temos uma inclinação como a da Fig.7. Quando a velocidade escalar é negativa, temos uma inclinação como a da Fig. 8.

Cálculo da velocidade

Sendo movimento uniforme, a velocidade pode ser calculada por

.

Graficamente, isso é feito considerando um triângulo retângulo como os destacados nas figuras a seguir

Observemos que, no caso da Fig. 10 o comprimento do cateto vertical do triângulo retângulo é igual ao módulo de e assim, o módulo da velocidade é:

.

Porém, sabemos que nesse caso a velocidade é negativa. Portanto:

Exemplo 1

A figura abaixo nos dá o espaço em função do tempo para uma partícula.

Determine:

a) o espaço inicial

b) a velocidade escalar

c) a equação horária do espaço

Resolução

a) O espaço inicial é obtido por leitura direta do gráfico. Percebemos que no instante t = 0 o espaço é 12 metros:

s0 = 12 m

b) Para obteremos a velocidade podemos considerar, por exemplo, o triângulo retângulo sombreado na figura.

c)

Exemplo 2

Calcule a velocidade escalar do móvel cujo gráfico do espaço em função do tempo é dado abaixo.

Resolução

Pela inclinação da reta percebemos que a velocidade escalar é negativa.

O módulo da velocidade pode ser obtido considerando, por exemplo, o triângulo retângulo sombreado na Fig. a:

Lembrando que a velocidade é negativa temos:

v = - 20 m/s

Poderíamos também, ter considerado o triângulo retângulo sombreado na Fig. b:

Sumário

- Gráfico do espaço em função do tempo
i. Cálculo da velocidade
- Gráfico da velocidade em função de tempo
i. Área do gráfico da velocidade
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