Força centrípeta

Força centrípeta

Força e trajetória

Até agora consideramos as forças atuantes em corpos que têm trajetória retilínea. Vimos que, nesses casos a força resultante tem sempre a mesma direção da trajetória (Fig. 1). Além disso a aceleração da partícula é representada por um vetor que tem a mesma direção e sentido que , valendo a segunda lei de Newton:

= m .

Vimos também que, se o movimento for acelerado, tem o mesmo sentido que (Fig. 2), isto é, a força resultante é a favor do movimento. Porém, quando o movimento for retardado, tem sentido oposto ao de , (Fig. 3), isto é, a força resultante é contrária ao movimento.

No caso de a trajetória não ser retilínea, a força resultante não tem a mesma direção que a velocidade. Consideremos por exemplo a situação ilustrada na Fig. 4, em que um menino joga uma pedra.

Nesse caso a trajetória da pedra é uma curva. Se nós desprezarmos a resistência do ar, a única força que atua na pedra após o lançamento, é o peso , isto é, o peso é a força resultante. Em cada ponto da trajetória, a velocidade é representada por um vetor tangente à trajetória: na posição A a velocidade é , na posição B a velocidade é e na posição C a velocidade é . Durante o movimento, a força resultante provoca dois tipos de mudança na velocidade:

I. Ocorre mudança na direção da velocidade. À medida que a pedra cai, a direção do vetor velocidade vai mudando.

II. Ocorre mudança no módulo da velocidade. O valor numérico da velocidade vai aumentando à medida que a pedra cai.

De modo geral a análise dos movimentos curvos é complexa e, assim, nesta aula vamos nos limitar a estudar um caso especial: o movimento circular uniforme.

Movimento Circular Uniforme

Na Fig. 5 representamos uma partícula em movimento circular e uniforme, no sentido horário.

Em cada ponto da trajetória o vetor velocidade é tangente à trajetória. à medida que a partícula se move, a direção do vetor velocidade vai mudando e assim podemos dizer que

_{x y z}

Porém, como o movimento é uniforme, o módulo da velocidade é constante:

|_x| = |_y| = |_z| = v

Nesse caso verifica-se que a força resultante aponta para o centro da circunferência:

- na posição x a força resultante é

- na posição y a força resultante é

- na posição z a força resultante é

Pelo fato de a força resultante apontar para o centro da circunferência, dizemos que é uma força centrípeta.

No estudo de geometria aprendemos que uma reta tangente a uma circunferência (Fig. 6) é perpendicular à reta que passa pelo ponto de tangência (T) e pelo centro (C) da circunferência. Portanto, no caso do movimento circular e uniforme (Fig. 5) a força resultante e a velocidade são perpendiculares, em cada ponto da trajetória.

Observando a Fig. 5 percebemos que a direção da força resultante vai mudando durante o movimento. Porém, verifica-se que o módulo da força resultante é constante:

Pode-se ainda mostrar que:

(I)

onde m é a massa da partícula, v é o módulo da velocidade e R é o raio da circunferência.

às vezes é conveniente expressar o valor de F_R em função da velocidade angular . Lembrando que:

v = . R

temos:

=

= m2R

F_R = m ²R (II)

Aceleração Centrípeta

Façamos uma alteração na equação I:

= m

(III)

Lembrando da segunda lei de Newton (F_R = m . a), o termo é chamado de módulo da aceleração centrípeta a_c:

ac =

(III)

Assim, a segunda lei de Newton para o movimento circular uniforme fica (Fig. 7):

= m .

(IV)

onde é a força resultante e é a aceleração centrípeta:

O módulo da aceleração centrípeta também pode ser expresso usando a velocidade angular .

Exemplo 1

Na figura abaixo representamos uma situação em que um pequeno bloco de massa m = 0,50 kg gira em movimento circular uniforme preso a um fio ideal o qual está fixo no ponto C, e sobre uma mesa lisa. Sabendo que o raio da circunferência é R = 0,25 m e que a velocidade do bloco tem módulo v = 3,0 m/s, calcule:

a) O módulo da tração no fio

b) O módulo da aceleração do bloco

Resolução

a) Na figura abaixo representamos as forças que atuam no bloco: o peso , a força normal e a tração do fio .

Neste caso o peso e a força normal se cancelam (F_N = P) e, assim, a resultante sobre o bloco é a tração .

Como movimento é circular e uniforme, devemos ter:

b) Como o movimento é uniforme não há aceleração escalar. Porém há aceleração centrípeta:

Observe que a unidade da aceleração centrípeta é a mesma da aceleração escalar: m/s²

Exemplo 2

Um automóvel percorre um trecho curvo de uma estrada plana e horizontal. Sabe-se que o raio de curvatura desse trecho é R = 144 m, a aceleração da gravidade é g = 10 m/s² e o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é _e = 0,40. Calcule a velocidade máxima que esse automóvel pode ter nesse trecho, sem derrapar.

Resolução

Na Fig. a representamos o automóvel e a estrada vistos de cima e na Fig. b o automóvel visto de frente.

As forças que atuam no automóvel são o peso , a força normal e a força de atrito . Por inércia, a tendência do automóvel é seguir em linha reta, mas a força de atrito impede que isso ocorra. Na vertical a força normal e o peso se cancelam (F_N = P). Assim, a força resultante é a força de atrito, a qual aponta para o centro (C) da circunferência.

Portanto:

Por outro lado, percebemos que a força de atrito é estática pois não há deslizamento, as rodas apenas rolam. Supondo que a força de atrito esteja com seu valor máximo, temos:

F_A = _e F_N = _e P = _e mg (II)

De I e II temos:

Esta é a velocidade máxima. Se o automóvel tiver uma velocidade menor que essa, a força de atrito será inferior ao seu valor máximo.

Exemplo 3

Um automóvel de massa m = 800 kg percorre um trecho de estrada como mostra a figura, com velocidade escalar constante v = 10 m/s. Os trechos XAY e ZBW são arcos de circunferência de raio R = 160 m. Sabendo que g = 10 m/s², calcule o módulo da força normal exercida pela estrada, sobre o automóvel, nos pontos A e B.

Resolução

O peso do automóvel tem módulo:

P = m . g = (800 kg) (10 m/s²)

P = 8000 N

Na figura I a seguir representamos as forças verticais que atuam no automóvel, nas posições A e B.

Quando o automóvel passa pelo ponto A, o centro da circunferência (C) está acima da estrada, mas quando o automóvel passa pelo ponto B, o centro (C) da circunferência está abaixo da estrada. Como a força resultante deve apontar para o centro, na posição A ela aponta para cima (Fig II) e na posição B ela aponta para baixo (Fig. III).

No ponto A devemos ter:

No ponto B devemos ter: