Trigonometria

TRIGONOMETRIA

No Triângulo Retângulo

Consideremos o triângulo abaixo:

Onde são ângulos agudos

São definidos para os ângulos agudos de um triângulo retângulo:

Seno = sen sen
Cosseno = cos cos
Tangente = tg tg
Cotangente = cotg cotg

Exemplo

Sen =4/5 Sen = 3/5 Cotg = 3/4 tg=4/3
Cos = 3/5 Cos= 4/5 cotg = 4/3 tg= 3/4

 No Triângulo qualquer

Lei dos Senos

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual a medida do diâmetro da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

b2 = a2 + c2 -2ac cos

c2 = a2 + b2 - 2ab cos

ou ainda:

cos =

cos

Através da lei dos cossenos, deduzimos um critério para determinar se um ângulo interno do triângulo é agudo, reto ou obtuso. Basta aplicar a tabela abaixo:

Ângulo

Condição

    agudo

a2 < b2 + c2

    reto

a2 = b2 + c2

    obtuso

a2 > b2 + c2

Exemplo

Qual é o valor do cos x?

Utilizando a Lei dos Cossenos temos:

62 = 42 + 52 - 2.4.5. cos

36 = 16 + 25 – 40 cos

40 cos = 5

cos =

Ângulos Notáveis

 

0

 

Seno

0

1

Cosseno

1

0

Tangente

0

1

Co-tangente

1

0

Medidas de Arcos

Radianos

Define-se que 

Onde c é o comprimento do arco determinado pelo ângulo central sobre a circunferência de raio r.

Se c = r então = 1, que recebeu o nome de radiano.

O radical radius vem do latim e quer dizer raio, o sufixo ano adjetiva o substantivo. Radiano é razão entre dois comprimentos, portanto, não tem dimensão, é um número real. Se c = 2 então , ou seja, o número real que expressa o ângulo raso (180º) é . Esta correspondência será usada para fazer conversões entre graus e os números reais.

Círculos Trigonométricos

O Ciclo e as Funções Trigonométricas

Consideremos num sistema cartesiano ortogonal, uma circunferência com centro na origem, raio unitário e sentido de percurso anti-horário a partir do ponto (1;0). Tal circunferência é denominada ciclo trigonométrico.

Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (a; b) , pertencente ao ciclo trigonométrico. O ponto P é extremidade do arco de que compreende ângulo central .

Nestas condições definimos:

Se pelo ponto A conduzimos a reta t paralela ao eixo y e prolongamos o segmento OP até encontrar t num ponto T, e isso é possível se P não pertence ao eixo y, a ordenada de T será a tg .

sen = b e cos = a

No triângulo retângulo OQP temos:

PQ2+ OQ2 = 1,

(sen )2 + (cos )2 = 1,

que pode ser escrita:

sen2 + cos2 = 1 que constitui a chamada relação fundamental trigonométrica.

Os triângulos OAT e OQP são semelhantes, portanto:

,

,

Os sinais das imagens das funções trigonométricas seguem a distribuição abaixo:

Considerando a primeira determinação dos arcos, ou seja arcos superiores a 900 deverão ser "reduzidos" ao Iº Quadrante da seguinte forma:

f () = (sinal da função no quadrante). f (K)

sendo K = 1800 - se é do IIº Quadrante,

K = - 1800 se é do IIIº Quadrante,

e K = 3600 - se é do IVº Quadrante.

Usando a redução ao Iº Quadrante e que sen = cos (900 - ) montamos a tabela abaixo para os arcos notáveis.

Sumário

- Triângulo Retângulo
- Lei dos Senos e dos Cossenos
- Ângulos Notáveis
- Medidas de Arcos
- Radianos
- Círculos Trigonométricos
- Funções Trigonométricas
- Função Seno, Cosseno, Tangente e Arco-Cosseno
- Relações entre as Razões Trigonométricas
- Adição de Arcos
- Transformação em Produto
- Funções trigonométricas Inversas
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