Trigonometria

TRIGONOMETRIA

No Triângulo Retângulo

Consideremos o triângulo abaixo:

Onde são ângulos agudos

São definidos para os ângulos agudos de um triângulo retângulo:

Exemplo

Sen =4/5	Sen = 3/5	Cotg = 3/4	tg=4/3
Cos = 3/5	Cos= 4/5	cotg = 4/3	tg= 3/4

No Triângulo qualquer

Lei dos Senos

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual a medida do diâmetro da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

b^₂ = a^₂ + c^₂ -2ac cos

c_² = a^₂ + b_² - 2ab cos

ou ainda:

cos =

cos

Através da lei dos cossenos, deduzimos um critério para determinar se um ângulo interno do triângulo é agudo, reto ou obtuso. Basta aplicar a tabela abaixo:

Exemplo

Qual é o valor do cos x?

Utilizando a Lei dos Cossenos temos:

6^₂ = 4^₂ + 5^₂ - 2.4.5. cos

36 = 16 + 25 – 40 cos

40 cos = 5

cos =

Ângulos Notáveis

Medidas de Arcos

Radianos

Define-se que 

Onde c é o comprimento do arco determinado pelo ângulo central sobre a circunferência de raio r.

Se c = r então = 1, que recebeu o nome de radiano.

O radical radius vem do latim e quer dizer raio, o sufixo ano adjetiva o substantivo. Radiano é razão entre dois comprimentos, portanto, não tem dimensão, é um número real. Se c = 2 então , ou seja, o número real que expressa o ângulo raso (180º) é . Esta correspondência será usada para fazer conversões entre graus e os números reais.

Círculos Trigonométricos

O Ciclo e as Funções Trigonométricas

Consideremos num sistema cartesiano ortogonal, uma circunferência com centro na origem, raio unitário e sentido de percurso anti-horário a partir do ponto (1;0). Tal circunferência é denominada ciclo trigonométrico.

Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (a; b) , pertencente ao ciclo trigonométrico. O ponto P é extremidade do arco de que compreende ângulo central .

Nestas condições definimos:

Se pelo ponto A conduzimos a reta t paralela ao eixo y e prolongamos o segmento OP até encontrar t num ponto T, e isso é possível se P não pertence ao eixo y, a ordenada de T será a tg .

sen = b e cos = a

No triângulo retângulo OQP temos:

PQ²+ OQ² = 1,

(sen )² + (cos )² = 1,

que pode ser escrita:

sen² + cos² = 1 que constitui a chamada relação fundamental trigonométrica.

Os triângulos OAT e OQP são semelhantes, portanto:

,

,

Os sinais das imagens das funções trigonométricas seguem a distribuição abaixo:

Considerando a primeira determinação dos arcos, ou seja arcos superiores a 90⁰ deverão ser "reduzidos" ao Iº Quadrante da seguinte forma:

f () = (sinal da função no quadrante). f (K)

sendo K = 180⁰ - se é do IIº Quadrante,

K = - 180⁰ se é do IIIº Quadrante,

e K = 360⁰ - se é do IVº Quadrante.

Usando a redução ao Iº Quadrante e que sen = cos (90⁰ - ) montamos a tabela abaixo para os arcos notáveis.

Funções Trigonométricas

Gráficos das funções trigonométricas

FUNÇÃO SENO

 Domínio = R ; Imagem = [-1;1]

FUNÇÃO COSSENO

 Domínio = R ; Imagem = [-1;1]

FUNÇÃO TANGENTE

 

Domínio = ; imagem = R.

Funções Trigonométricas secundárias: cotangente, secante e cossecante.

Demonstra-se que: 

Equações e Inequações Trigonométricas

Veja o Modelo:

Ponto A: 

Ponto B: 

Onde k Z

Exemplo

cos x >

Relações entre as Razões Trigonométricas

Relações Auxiliares

sec² = 1 + tg² e cossec² = 1 + cotg²

Relações Fundamentais e auxiliares

Redução ao 1º Quadrante

Sejam a e b arcos do 2º Quadrante

     do 2º Quadrante para o 1º quadrante.

Sejam a, b arcos do 3º quadrante.

     do 3º para o 1º quadrante

Sejam a, b arcos do 4º quadrante

     do 4º quadrante para o 1º quadrante

Exemplo

cos (270 – x) = - cos(90 – x ) = - sen x

sen (90 - x) = cos x 

Transformações Trigonométricas

Adição de Arcos

Demonstra-se que:

sen (a b) = sena cosb senb cosa

cos( a b) = cosa cosb sena senb

tg(a b) =

Exemplo

sen (75) = sen (45º + 30º ) =

sen 45º .cos 30º + sen 30º .cos 45º =

sen2 = 2sen cos cos2 = cos2 - sen2 tg2 =

Exemplo

Calcular cos 22º 30;

 

Exemplo

Sabendo que sen a =  e 0 < a < 90^0; calcule sen 2α e cos 2α

Aplicando a Relação: sen  temos

           

Assim  sen 2a = 2 sen a . cos a  =  

cos 2a = cos²a - sen²a = 

Transformação em Produto     

Exemplo

Transformar em Produto a Expressão:

sen2x + 2cosx.

Resolução

sen 2x + 2 cos x = 2 sen x cos x + 2 cos x = 2 cos x (sen x + 1) Mas: sen + 1 = sen x + sen  = 2 . sen 

Então:             sen 2x + 2cos x = 2. (cos x).

                      sen 2x + 2cos x = 4. cos x. sen 

Funções Trigonométricas Inversas

1. FUNÇÃO ARCO-SENO

Consideremos y = sen x

no intervalo   com contra domínio [-1;1] .

Nestas condições temos uma função bijetora e então podemos definir a sua função inversa, ou seja,

 y = arc sen x com domínio [-1;1] e imagem  conforme o gráfico abaixo.

 

2. FUNÇÃO ARCO-COSSENO

y = arc cos x   cos y = x

 

D = [-1, 1]

I = [0, π]

3. FUNÇÃO ARCO-TANGENTE

Consideremos y = tgx no intervalo  ; sua função inversa é y = arc tgx  com domínio real e imagem .

 conforme o gráfico abaixo.

Exemplo:

Calcular:

Logo, sen²a + cos²a = 1.