Sistema de Equações Lineares

Sistema de Equações Lineares

1. Métodos de resolução

No plano, duas retas não paralelas encontram-se exatamente em um ponto. A partir das equações das retas podemos determinar as coordenadas desse ponto.

Por exemplo, sejam as retas de equações:

x + 2y = 4

2x + y = 5

Note que as coordenadas do ponto de intersecção P devem satisfazer cada uma das equações. Para determiná-las devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.

Descrevemos dois métodos para a resolução do sistema.

1º método - O método da substituição

1º passo: Resolvemos a primeira equação para x (porque x tem coeficiente 1 e não introduzimos coeficientes fracionários).

2º passo: Na segunda equação substituímos x por -2y + 4 e resolvemos a equação assim obtida para y.

2. x + y = 5  
Propriedade distributiva
-4y + 8 + y = 5 TE1
-4y + y = 5 - 8  
-3y = -3 TE2
y = 1  

3º passo: Na equação (1) substituímos y por 1 para obtermos o valor de x.

x = - 2 . y + 4

= - 2 . 1 + 4

= 2

A solução do sistema é x = 2 e y = 1, ou o par (2; 1). Na figura acima, o ponto P tem coordenadas (2; 1).

2° método - O método da adição

1° passo: As equações devem ser escritas na forma geral. No caso, as equações já estão escritas nessa forma - esse 1° passo é desnecessário.

2° passo: Multiplicamos a primeira equação por -2; os coeficientes de x só diferem pelo sinal

3° passo: Somamos membro a membro as duas equações; os termos em x são ilimitados; temos

- 3 y = -3

y = 1

4° passo: Substituímos y por 1, por exemplo, na equação (1) ; obtemos:

x + 2 . y = 4

x + 2 .1 = 4

x + 2 = 4

x = 2

Então, a solução do sistema é x = 2 e y = 1, ou o par (2 ; 1).

2. Um sistema impossível

Vamos resolver o sistema

Note que a primeira equação já está resolvida para y; vamos usar o método da substituição.

4x - 2y = 5

4x - 2.(2x + 4) = 5

Daí,

4x - 4x - 8 = 5

-8 = 5 !  

Mas, -8 5 ; isso mostra que as equações do sistema são independentes e que o sistema é impossível.

Os gráficos das equações são retas paralelas.

As retas de equações y = 2x + 4 e 4x - 2y = 5 (ou ) têm o mesmo coeficiente angular m = 2.

3. Um sistema com muitas soluções

Vamos resolver o sistema

As equações estão na forma geral; vamos usar o método da adição. Para eliminar a incógnita x multiplicamos a primeira equação por -3; obtemos:

Somando membro a membro as equações, vem

0x + 0y = 0

0 = 0  !

Note que ambas incógnitas x e y foram eliminadas. A veracidade do resultado 0 = 0 mostra que as equações do sistema são dependentes e que o sistema é possível.

As equações do sistema são equivalentes: a primeira equação multiplicada por -3 resulta na segunda. Os gráficos das duas equações coincidem. Qualquer par ordenado que satisfaz uma equação também satisfaz a outra. O sistema tem infinitas soluções.

Se resolvermos a equação para y, temos:

2x + 3y = 7

3y = -2x + 7

y = x +

Então, qualquer solução do sistema é um par da forma (x; y) =

Exemplos de soluções:

x

y = x +

(x; y)

0

(0; )

3

(3; )

1

(1; )

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Sumário

- Métodos de resolução
- Um sistema impossível
- Um sistema com muitas soluções
- Um resumo
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