Sistema de Coordenadas

Sistema de Coordenadas

Um sistema ortogonal de coordenadas consiste de duas retas numéricas perpendiculares, que dividem o plano em quatro quadrantes como mostra a figura.

A reta numérica horizontal chama-se eixo - x e a vertical, eixo - y . A intersecção dos dois eixos é a origem do sistema, e é também a origem de cada um dos eixos.

O sentido positivo do eixo - x é "para a direita" e o sentido positivo do eixo - y é "para cima".

Para marcar (localizar) o ponto associado ao par x = 2 e y = 3, denotado com (2; 3) , partimos da origem e contamos 2 unidades para a direita e, então, 3 unidades para cima, como mostra a figura.

O ponto P (que está no 1º quadrante) é o gráfico do par (2; 3). O par (2; 3) dá as coordenadas do ponto P .

Escrevemos

P (2; 3)

Para marcar o ponto Q , com coordenadas (-4; 5), partimos da origem e contamos 4 unidades para a esquerda e, depois, 5 unidades para cima. O ponto Q está no 2º quadrante.

Observação:

Os pares (-2; 3) e (2; -3) representam diferentes pontos. O primeiro está no 2º quadrante e o segundo, no 4º quadrante. Note que a ordem é importante quando desenhamos o gráfico de um par de números reais; tais pares são chamados de pares ordenados.

A primeira coordenada no par (-2; 3) chama-se abscissa , e a segunda coordenada chama-se ordenada .

Gráfico de uma equação

Definição

O gráfico de uma equação cujas variáveis são x e y é formado por todos os pontos cujas coordenadas satisfazem a equação.

A igualdade y = x + 1 é uma equação com duas variáveis . Quando se substitui x por um determinado valor, obtém-se um valor correspondente para y . Por exemplo, quando se substitui x por 2, obtém-se y = 2 + 1 = 3. Dizemos, então, que o par ordenado (2; 3) satisfaz a equação y = x + 1.

Há infinitos pares ordenados que satisfazem a equação y = x + 1, e todos estão situados sobre uma mesma reta . A seguir temos uma tabela que mostra alguns pares de números que satisfazem a equação.

y = x + 1

x

y

(x; y)

-3

-2

(-3; -2)

-2

-1

(-2; -1)

-1

0

(-1; 0)

0

1

(0; 1)

1

2

(1; 2)

2

3

(2; 3)

O gráfico da equação y = x + 1 é uma reta e essa equação se chama equação da reta. A reta contém somente aqueles pontos cujas coordenadas (x; y) satisfazem a equação y = x + 1. Aqueles pontos que não estão na reta têm coordenadas (x; y) tais que y x + 1; por exemplo, (1; 3) não está na reta porque 31 + 1.

Observação:

Quando o gráfico de uma equação é uma reta, a equação se chama equação linear . Uma equação linear sempre pode ser escrita na forma ax + by = c, onde a, b, c são constantes e x, y são variáveis.

Interceptos de uma reta

Vamos desenhar o gráfico da equação linear 3x + 2y = 6.

Se x = 2 temos:

3 x + 2y = 6

3.2 + 2y = 6

6 + 2y = 6

2y = 0

y = 0

O par (2; 0) satisfaz a equação.

Se x = 0 temos:

3x + 2y = 6

3.0 + 2y = 6

0 + 2y = 6

y = 3

O par (0; 3) satisfaz a equação.

Como bastam dois pontos para determinarmos uma reta , marcamos os pares (2; 0) e (0; 3) no sistema e traçamos (desenhamos) a reta que é o gráfico da equação 3x + 2y = 6

3x + 2y = 6

x

y

(x; y)

2

0

(2; 0)

0

3

(0; 3)

No exemplo, o gráfico corta o eixo - y no ponto de coordenadas (0; 3), chamado intercepto - y , e corta o eixo - x no ponto de coordenadas (2; 0), chamado intercepto - x

INTERCEPTOS

O intercepto - y de uma reta é o ponto (0; b) onde a reta encontra o eixo - y . Para determinarmos b , substituímos x por 0 na equação da reta e a resolvemos para y.

O intercepto - x de uma reta é o ponto (a; 0) onde a reta encontra o eixo - x . Para determinarmos a , substituímos y por 0 na equação da reta e a resolvemos para x.

Exemplo

Um método muito cômodo para desenharmos o gráfico de uma equação linear como 2x + 5y = 10, é usarmos os interceptos.

Para determinarmos o intercepto - y , na equação substituímos x por 0 e a resolvemos para y:

2x + 5y = 10

2.(0) + 5y = 10

5y = 10

y = 2

O intercepto - y é o ponto (0; 2).

Para determinarmos o intercepto - x , na equação substituímos y por 0 e a resolvemos para x:

2x + 5y = 10

2x + 5.(0) = 10

2x = 10

x = 5

O intercepto - x é o ponto (5; 0)

2x + 5y = 10

x

y

(x; y)

0

2

(0; 2)

5

0

(5; 0)

Sumário

- O sistema de coordenadas
- Gráfico de uma equação
- Interceptos de uma reta
- Coeficiente angular de reta
- Retas horizontais e verticais
- Retas paralelas
- Retas perpendiculares
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