Raízes - Regras de Cálculo

Raízes - Regras de Cálculo

1. O que é uma raiz

Vamos considerar algumas questões envolvendo números reais.

1ª questão: "Qual é o número real x cujo cubo é igual a 8, isto é, x³ = 8?"

A resposta a essa questão é fácil e precisa. Esse número x existe e é um só; é o número 2 pois 2³ = 8.

Dizemos, então, que 2 é a raiz cúbica de 8, e escrevemos:

= 2

note que ()³ = 8

2ª questão: "Qual é o número real x cuja quinta potência é igual a - 32, isto é, x⁵ = - 32?"

A resposta também é simples. Esse número x existe e é único; é o número - 2 pois (- 2)⁵ = - 32.

Dizemos, então, que - 2 é a raiz quinta de - 32, e escrevemos:

= -2

note que ()⁵= -32.

3ª questão: "Qual é o número real x cujo quadrado é igual a 25, isto é, x² = 25?"

Neste caso a resposta apresenta uma pequena dificuldade; há dois valores reais que respondem à questão; eles são 5 e - 5 pois 5² = 25 e (- 5)² = 25.

Dizemos, então, que 5 e - 5 são raízes quadradas de 25; das duas, somente a positiva é representada com a escritura :

= 5

A negativa, - 5, é representada assim:

- = -5,

note que ()² = 25 e (- )² = 25.

4ª questão: "Qual é o número real x cuja quarta potência é igual a - 16, isto é, x⁴ = - 16?"

Tal número não existe; dizemos que - 16 não possui raiz quarta.

Então, a escrita não representa um número; ela nada significa.

2. A escritura

A tabela a seguir, onde A é um número real e n um inteiro positivo, dá um resumo da discussão feita acima.

 

3. Nomes

Uma escrita como chama-se radical; nele, o número A chama-se radicando e o inteiro n chama-se índice (do radical).

Exemplo

Particularmente, observe que usamos:

Observação:

Veja em termos de notação e leitura:

: raiz quadrada

: raiz cúbica

: raiz quarta

: raiz quinta

.
.
.

: raiz n-ésima

Exemplos

, pois 5⁵ = 3125

, pois (- 5)⁵ = - 3125

, pois 5 é positivo e 5⁴ = 625

A escrita nada significa.

Exercícios

1. Complete:

a) =

b) =

c)  =

d)  =

e)  =

f)  =

g)  =

h) ()² =

Resolução

a)  = 8, pois 8 é positivo e 8² = 64.

b)  = - 3, pois (- 3)³ = -27.

c)   = 2, pois 2⁵ = 32.

d)   = 3, pois 3 é positivo e 3⁴ = 81.

e)  =  = 4.

f)    =  = 4

g)   = = 5, pois 5 é positivo e 5² = 25.

h)  ()² = 5; é a definição de raiz quadrada.

4. A equação x² = A

Para resolvermos a equação

x² = A

onde A é um número conhecido e x é a incógnita, devemos considerar três possibilidades.

1ª) A < 0

Nesse caso a equação não admite soluções reais, pois o quadrado de um número real não pode resultar negativo.

Essa situação equivale a dizer que um número negativo não possui raízes quadradas. Por exemplo, a equação x² = - 4 não tem soluções; a escritura nada significa.

2ª) A = 0

A equação x² = 0 admite uma única solução x = = 0

3ª) A > 0

A equação admite duas soluções, opostas: a solução positiva representada com e, a negativa, -.

Por exemplo, a equação x² = 4 tem como soluções:

= 2 (positiva)

- = - 2 (negativa)