Raciocínio Matemático

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

Problemas de Raciocínio Matemático constituem uma grande parte das questões de Matemática testadas no ENEM. Tais questões frequentemente exigem que você “traduza” o texto do português para a matemática. Esse tipo de questão, além de testar seu raciocínio e sua habilidade de resolver problemas matemáticos, é uma forma de medir seu domínio das diferentes áreas do estudo da Matemática: Aritmética, Álgebra, leitura de tabelas e gráficos, Probabilidade e Estatística, Geometria etc.  

A melhor forma de melhorar seu desempenho em questões de Raciocínio Matemático é praticar. Portanto, o 10emtudo preparou para você uma série de exercícios com resoluções detalhadas. Tente resolver as questões antes de consultar a resolução delas. É praticando – e errando – que se adquire um melhor domínio desse tipo de questão.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Sandro hoje tem 5 vezes a idade que Carlos tinha há 5 anos. Se a soma das idades atuais de Sandro e de Carlos é 35, em quantos anos Sandro terá o dobro da idade de Carlos?

Resolução
A questão nos informa o seguinte:
C = idade atual de Carlos
S = idade atual de Sandro
S (idade atual de Sandro) = 5 x (C-5): (cinco vezes a idade de Carlos há 5 anos).
C + S (somatória das idades de Carlos e Sandro) = 35

Se C + S = 35, C = 35-S
Basta substituir (35-S) por C na equação para resolvê-la:
S = 5 x(C-5)
S = 5 x (35 – S  - 5)
S= 5 x (30 – S)
S = 150 – 5S
6S = 150
S = 25

Agora, basta substituir este valor para descobrir a idade de Carlos (C):
C = 35 – S
C = 35 – 25
C= 10

Atualmente, Sandro tem 25 anos de idade e Carlos tem 10.

Mas essa ainda não é a resposta. É importante responder a pergunta que é feita! A questão não pergunta a idade de Sandro ou Carlos, e sim, em quantos anos Sandro terá o dobro da idade de Carlos.

Seja x o número de anos em que Sandro (que hoje tem 25 anos) terá o dobro da idade de Carlos (que hoje tem 10 anos):
25 + X = 2 (10 + X)
25 + X = 20 + 2X
X = 5
Resposta: Em 5 anos, Sandro terá o dobro da idade de Carlos.

2. O preço de ingressos de um parque de diversões para 2 adultos e 3 crianças é 14 reais. Se o preço do ingresso para uma criança é 50% do preço cobrado para um adulto, qual o preço do ingresso para um adulto?

Resolução
Se o preço do ingresso para um adulto é duas vezes o preço do ingresso para uma criança, isto significa que 2 ingressos para adultos custam o equivalente a 4 ingressos para crianças.

2 adultos compraram ingressos = 4 ingressos para crianças
Portanto, 14 reais = 4 ingressos para crianças (=2 ingressos para adultos) + 3 ingressos para crianças
14 reais = 7 ingressos para crianças
2 reais = 1 ingresso para crianças

Já que o preço do ingresso para um adulto é duas vezes o preço do ingresso para uma criança, o ingresso para um adulto custa 4 reais.
Resposta: 4 reais

3. Uma classe de 40 alunos será dividida em grupos de estudo. Cada um dos grupos deve ser composto por 3, 4 ou 5 alunos. Qual o maior número de grupos que pode ser formado?

Resolução:
Cada grupo deve incluir no mínimo 3 pessoas. Portanto, dividimos 40 por 3, para descobrir o maior número possível de grupos de 3 pessoas que pode ser formado. Ao se dividir 40 por 3, formam-se 13 grupos de 3 alunos cada, mas fica sobrando 1 aluno. Este aluno não pode ficar de fora – ele precisará ingressar num dos 13 grupos de 3 alunos. Portanto, formam-se 12 grupos com 3 alunos cada e 1 grupo com 4 alunos.
Resposta: O maior número de grupos que pode ser formado é 13.

4. Paulo possui o dobro de livros que Marcos possui. Se Paulo der 10 de seus livros para Marcos, ele passará a ter metade dos livros que Marcos passará a possuir após receber os 10 livros de Paulo. Quantos livros possuem juntos Paulo e Marcos?

Resolução
Na equação abaixo, p representa o número de livros que Paulo possui e m representa o número de livros que Marcos possui. Se Paulo possui duas vezes o número de livros que Marcos possui: p = 2m

Se Paulo der 10 de seus livros para Marcos, ele terá 10 livros a menos, ou seja, p-10, enquanto que Marcos terá 10 livros a mais, ou seja, m + 10. A questão nos informa que se Paulo der 10 de seus livros a Marcos, ele passará a possuir metade dos livros que Marcos passará a possuir após receber esses 10 livros. Portanto, forma-se a seguinte equação:
p-10 =1/2 (m+10)

Para resolver esta equação, basta substituir p por 2m (pois, antes de dar 10 de seus livros a Marcos, Paulo possuía o dobro de livros que Marcos possuía).

Portanto:
2m-10 =1/2 (m+10)
4m – 20 = m + 10
3m = 30
m = 10
Sendo que p= 2m e m=10, p=20.
Resposta: O número total de livros que Paulo e Marcos possuem é p + m = 20 + 10 = 30.

5. 60 diaristas trabalham numa obra. A média do salário diário pago por trabalhador é 80 reais. Se alguns dos trabalhadores recebem 75 reais por dia e o resto deles recebe 100 reais por dia, quantos trabalhadores recebem 75 reais por dia?

Resolução:
Se o salário médio pago por trabalhador é 80 reais por dia, o total pago num dia de trabalho é 60 x 80 = 4.800 reais. Este valor inclui o total recebido pelos trabalhadores que ganham 75 reais por dia mais o total recebido por aqueles que recebem 100 reais por dia.

Na equação abaixo, x representa o número de trabalhadores que recebem 75 reais por dia.

A questão nos informa que há 60 trabalhadores e que todos eles recebem 75 ou 100 reais por dia. Portanto, 60 –x recebem 100 reais por dia.
Portanto,
75x + 100(60-x) = 4800
75x +6000 – 100x = 4800
-25x = -1200
25x = 1200
X= 48
Resposta: 48 trabalhadores recebem 75 reais por dia.

6. Duas mangueiras, A e B, são utilizadas para encher de água uma piscina. A mangueira A sozinha consegue encher a piscina em 3 horas. A mangueira B sozinha consegue encher a mesma piscina em 2 horas. Em quantos minutos as duas mangueiras juntas enchem 2/3 da piscina?

Resolução:
Se a mangueira A leva 3 horas para encher a piscina, ela consegue encher 1/3 da piscina em 1 hora. A mangueira B consegue encher a piscina em 2 horas; portanto, consegue encher1/2 da piscina em uma hora. Portanto, em uma hora, as duas mangueiras juntas enchem 1/2 + 1/3, ou seja, 5/6, da piscina.

Se numa hora, as duas mangueiras enchem 5/6 da piscina, elas precisam do inverso de 5/6, ou seja, 6/5 horas para encher toda a piscina. Levaria 2/3 desse tempo para encher 2/3 da piscina, ou seja, 2/3 x 6/5 = 4/5 de uma hora.

Lembre-se que a questão pergunta em quantos minutos, e não em quantas horas, as duas mangueiras enchem 2/3 da piscina. (Mais uma vez, preste atenção na questão! Responda exatamente o que é pedido! Esta questão, por exemplo, pergunta a respeito de minutos, não horas.). Portanto, precisamos converter 4/5 de uma hora em minutos. 1/5 de uma hora é 12 minutos; portanto, 4/5 de uma hora é 4 x 12 = 48 minutos.
Resposta: Em 48 minutos, as duas mangueiras juntas enchem 2/3 da piscina.

7. Uma fábrica despediu 16% de seus trabalhadores. Três meses depois, o presidente da empresa notou que devido às demissões, a produtividade da fábrica havia caído muito. A fábrica contratou então 25% mais trabalhadores do que empregava após a demissão dos 16%.
Considerando a demissão e a contratação posterior, qual foi a mudança total, em termos percentuais, no número de trabalhadores empregados pela fábrica?

Resolução:
Já que a questão pede uma resposta em termos percentuais, podemos escolher um número teórico que facilite a sua resolução. Vamos escolher o número 100 e supor que, originalmente, antes da demissão, havia 100 trabalhadores na fábrica. Se 16%, ou seja, 16 trabalhadores, foram demitidos, a fábrica passou a empregar 84 trabalhadores.

Posteriormente, a fábrica contratou 25% mais trabalhadores: 25% de 84 é 21, o que significa que a fábrica contratou 21 trabalhadores. A fábrica passou a ter 84 + 21 = 105 trabalhadores.

Originalmente, antes da demissão e da contratação posterior, havia 100 trabalhadores. Agora, há 105 trabalhadores. 5/100 = 5%.
Resposta: A mudança total, em termos percentuais, foi de 5%.