Progressões

Progressões

O que é uma sequência

Uma sequência numérica é um conjunto de números colocados em ordem. Isso significa que existe uma regra pela qual os termos são formados. Sequências podem ser finitas ou infinitas.

A Fórmula

A formula de recorrência fornece o 1º termo e expressa um termo qualquer an+1, em função do seu antecedente an.

Exemplos

     a1 = 3

     an = 2 + an+1 {3, 5, 7, 9 ...}

Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo após o primeiro é formado adicionando um valor fixo. Se a1 é o primeiro termo, r (denominada razão)  é a constante adicionada a cada termo e n é o número de termos na progressão aritmética.

Definição

É uma sequência onde somando uma constante r (denominada razão) a cada termo, obtém-se o termo seguinte.

Assim:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 3r

.

.

.

.

an = a1 + ( n - 1 ) . r, que é conhecida como a Fórmula do Termo Geral.

Propriedades

( 1ª ) Cada termo, a partir do segundo, é média aritmética entre o termo que o precede e o termo que  o sucede.

( 2ª ) A soma de dois termos equidistante dos extremos é igual a soma dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que a soma dos termos de uma P.A. é dada por:

Sn = . n

     

Exercício Resolvido

Dada a soma 4, 9, 14, 19 …

a) Encontre o vigésimo termo dessa progressão aritmética.

b) Determine a soma dos 20 primeiros termos dessa progressão aritmética.

Resolução

a) Através dessa progressão aritmética sabemos que:

a1 = 4
r = 5
n = 20

Dada a fórmula:
an = a1 + ( n - 1 ) . r
a20= 4 + (20 – 1) . 5
a20= 99

b) Dada a fórmula:

Sn = 1030

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo após o primeiro é formado multiplicando o termo anterior por um número constante denominado razão.

Definição

É uma sequência onde multiplicando cada termo por uma constante q (denominada razão), obtém-se o termo seguinte.

Assim:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = a1 . q3
     .
     .
     .
     an = a1 . qn-1 que é a Fórmula do Termo Geral.

Propriedades

( 1ª ) Cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo que o precede e o termo que o sucede.

( 2ª ) O produto de dois termos equidistante dos extremos é igual ao produto dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que o produto dos termos de uma P.G. é dado por:

      

 1.

 

Exercício Resolvido

Dada a progressão geométrica 8, 4, 2, 1,…

a) Encontre o nono termo dessa progressão geométrica.

b) Determine a soma dos 9 primeiros termos dessa progressão geométrica.

Resolução

a) Sabemos que:

a1 = 8
q = 1/2
n = 9

Dada a fórmula:
an = a1 . qn-1 
a9 = 8.  ½9-1
a9 = 8.  ½8
a9 = 8.  ½8
a9 = 8.  1/258
a9 = 1/32

b) Dada a fórmula:

A soma dos nove primeiros termos é .

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Sumário

- O que é uma sequência
- A Fórmula
- Progressão Aritmética
- Propriedades
- Progressão Geométrica
- Propriedades
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