Potências - Regras de Cálculo

Potências - Regras de Cálculo

1. Definições

Acreditamos que é mais cômodo escrever a soma x + x + x na forma 3x. Igualmente, podemos escrever o produto x.x.x de maneira mais simples, utilizando expoentes. Assim, escrevemos:

x.x.x = x3

Então, para qualquer número x, a escritura x3, que se lê "x à terceira potência" , representa o produto de três fatores iguais a x.

A expressão x3 é uma potência de base x, ou simplesmente potência de x; nela, 3 é um expoente.

Exemplos

z.z.z.z.z = z5

(2.2.2) . (3.3). (5.5.5.5.5.5) = (23).(32).(56)

De um modo geral, para potências com expoentes inteiros, adotaremos as definições que seguem.

Definições

  • Sejam a um número real e n um número inteiro, n ≥ 2; definimos: an =
  • Adotamos a1 = a
  • Se a 0, convencionamos que a0 = 1
  • Se a  0, a escritura a-n representa o inverso de an, isto é

a - n =

Exercícios

1. Calcule:

a) 22 + (-2)2

b) 33 + (-3)3

c) 30 + 31 - (-3)0 - (-3)1

d) 3-2 + 2-2 .

Resolução

a) 

b)

c)

d)

2. Regras de Cálculo

A partir das definições dadas, é possível estabelecermos algumas regras envolvendo potências com expoentes inteiros.

Regras

Sejam m e n números inteiros e a e b números reais quaisquer; valem as propriedades:

am . an = am + n

Quando se multiplicam potências com uma base comum, somam - se os expoentes e se usa a mesma base.

Quando se dividem potências com uma base comum (o denominador não pode ser zero), subtraem - se os expoentes e se usa a mesma base.

(am)n = a m . n

A potência de uma potência é o produto das potências com a mesma base.

(a . b)m = am . bm

A potência de um produto é o produto das potências.

A potência de um quociente (o denominador não pode ser zero) é o quociente das potências.

Exemplos

32 . 34 = 32 + 4 = 36

x3 . x4 = x7

=25 - 2 = 23

= 72-3 = 7-1

= 53 - 3 = 50 = 1

(23)4 = 23 . 4 = 212

(a2)-3 = a-6

(3 . 5)2 = 32 . 52

(x . y)-1 = x -1 . y -1


Exercícios

Simplifique:

a)  3 . x3 . x4

b)  

c)  

Resolução

a)  3 . x3 . x4 = 3 . x3 + 4 = 3 . x7

b)  

c)   

3. Escritura de um número em notação científica

A distância da Terra à Estrela Polar é de aproximadamente 10 000 000 000 000 000 000 metros, e a espessura de uma bolha de sabão é de quase 0,000 000 1 metros. Note que é fácil cometermos erros quando trabalhamos com números cujas escrituras apresentam muitos zeros.

Se, por engano, acrescentamos um zero, o resultado é dez vezes maior, ou se esquecemos um zero, o número fica dividido por dez!

Para evitar esse tipo de erro e facilitar o trabalho com números muito grandes ou muito pequenos, escrevemos os números em uma forma conveniente que se chama notação científica. Os números em notação científica se escrevem como o produto de uma potência de 10 e um número maior ou igual a 1, mas menor que 10. Em notação científica, a distância da Terra à Estrela Polar é 1 . 1019 , e a espessura de uma bolha de sabão é 1 . 10-7 .

Definição

Um número real positivo N está escrito em notação científica quando é colocado na forma

N = c . 10P,

onde p é um número inteiro e c um número real tal que 1 ≤ c  10

Exemplos

A velocidade da luz em centímetros por segundo é

v = 29 979 000 000

Então,

v = 2, 9979 . 1010

A massa de um próton em gramas é

m = 0, 000 000 000 000 000 000 000 00167

Então,

m = 1, 67 . 10-24

4. Regra

Para escrevermos um número N na notação científica, inicialmente colocamos a vírgula após o primeiro algarismo não nulo de N. Em seguida, determinamos o expoente da potência de 10 contando o número de lugares (casas decimais) que a vírgula se deslocou. Se a vírgula se deslocou para a esquerda, o expoente é positivo, e se ela se deslocou para a direita, é negativo.

Exemplos

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Sumário

- Definições
- Regras de Cálculo
- Escritura de um número em notação científica
- Regra
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