Matrizes

MATRIZES

Matriz é uma tabela constituída por números ou letras dispostos em “m” linhas por “n” colunas.

Exemplo

A matriz acima tem 2 linhas por 3 colunas.

A representação genérica da matriz M é M = (a_ij)_nxp onde a_ij é o elemento que ocupa a linha “i” e a coluna “j”.

Para a matriz acima, temos, por exemplo, a₂₃ = p e a₁₂ = 5.

Classificação de matrizes

Matrizes Nula: é a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero.

Matriz quadrada: é a matriz que tem o número m de linhas igual ao número n de colunas.

Obs.: A matriz nxné denominada matriz quadrada de ordem n.

Diagonal principal e diagonal secundária:

     Seja A=

Os elementos a₁₁ = 1, a₂₂ = 5 e a₃₃ = 9 formam a diagonal principal e os elementos a₁₃ = 3, a₂₂ = 5 e a₃₁ = 7 formam a diagonal secundária.

Matriz diagonal: é a matriz que apresenta todos os elementos que não pertencem à diagonal principal iguais a zero.

Exemplo

Matriz Identidade ou Unidade: é toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplos

I2 =     

I3 =

Matriz transposta: Dada uma matriz A = (a_ji)_mxn, chama-se transposta de A a matriz A^t = (a_ji)_mxn, tal que a_ji = a_ij , para todo i e todo j, ou seja, as colunas de A^t são ordenadamente iguais às linhas de A.

Exemplo

Matriz Simétrica

É toda matriz quadrada A tal que A^t = A.

Exemplo

A = é simétrica pois A^t = A

Matriz Antissimétrica

é toda matriz quadrada A tal que A^t = -A

A =    é antissimétrica pois A^t = -A

Operações com Matrizes

a) Adição e Subtração 

A e B sendo matrizes do mesmo tipo, tem por adição à matriz     onde c_ij = a_ij b_ij

b) Multiplicação por um nº real

Sendo h = ( a_ij ) e  

. h = (a_ij)_nxp

Exemplo

c ) Multiplicação entre matrizes

Para ser possível efetuar o produto entre duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

Somam-se os produtos dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos correspondentes das colunas da 2º matriz.

Disposição prática para o cálculo do produto: Considerando as matrizes A e B e dispondo conforme esquema abaixo, cada elemento c_ij é obtido a partir da linha  de A  e coluna de B que nela se “cruzam”. Assim, por exemplo: c₁₂= 1 . 7 + 3 . 9 = 34.

Obs.

somente existe o produto de uma matriz A por outra B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se existe um produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A.

Equações Matriciais

Veja o modelo: sendo A e B matrizes de mesmas ordem, calcular x em função de A e B.

2x - A = 3 B

Adicionando-se a matriz A pela direita nos 2 membros:

2x - A + A = 3 B + A

2x = 3 B + A

Multiplicando-se os dois membros por 1/2:

Matriz Inversa

Chama-se matriz inversa da matriz quadrada A e indica-se por A^-1, à matriz também quadrada, que, se existir, satisfaz a condição:

A . A^-1 = A^-1 .  A = I_n

Onde I_n é a matriz unidade ou identidade.

Exemplo

Dada a Matriz A = sua inversa é: , pois:

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