Matrizes

MATRIZES

Matriz é uma tabela constituída por números ou letras dispostos em “m” linhas por “n” colunas.

Exemplo

A matriz acima tem 2 linhas por 3 colunas.

A representação genérica da matriz M é M = (aij)nxp onde aij é o elemento que ocupa a linha “i” e a coluna “j”.

Para a matriz acima, temos, por exemplo, a23 = p e a12 = 5.

Classificação de matrizes

Matrizes Nula: é a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero.

Matriz quadrada: é a matriz que tem o numero m de linhas igual ao número n de colunas.

Obs.: A matriz nxné denominada matriz quadrada de ordem n.

Diagonal principal e diagonal secundária:

     Seja A=

Os elementos a11 = 1, a22 = 5 e a33 = 9 formam a diagonal principal e os elementos a13 = 3, a22 = 5 e a31 = 7 formam a diagonal secundária.

Matriz diagonal: é a matriz que apresenta todos os elementos que não pertencem à diagonal principal iguais a zero.

Exemplo

Matriz Identidade ou Unidade: é toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplos

I2 =     

I3 =

Matriz transposta: Dada uma matriz A = (aji)mxn, chama-se transposta de A a matriz At = (aji)mxn, tal que aji = aij , para todo i e todo j, ou seja, as colunas de At são ordenadamente iguais às linhas de A.

Exemplo

Matriz Simétrica

É toda matriz quadrada A tal que At = A.

Exemplo

A = é simétrica pois At = A

Matriz Antissimétrica

é toda matriz quadrada A tal que At = -A

A =    é antissimétrica pois At = -A

Operações com Matrizes

a) Adição e Subtração 

A e B sendo matrizes do mesmo tipo, tem por adição à matriz     onde cij = aij bij

b) Multiplicação por um nº real

Sendo h = ( aij ) e  

. h = (aij)nxp

Exemplo

c ) Multiplicação entre matrizes

Para ser possível efetuar o produto entre duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

      

Somam-se os produtos dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos correspondentes das colunas da 2º matriz.

Disposição prática para o cálculo do produto:Considerando as matrizes A e B e dispondo conforme esquema abaixo, cada elemento cij é obtido a partir da linha  de A  e coluna de B que nela se “cruzam”. Assim , por exemplo: c12= 1 . 7 + 3 . 9 = 34.

Obs.

somente existe o produto de uma matriz A por outra B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.Se existe um produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número de colunas de B.Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A.

Sumário

- Classificação de Matrizes
- Operações com Matrizes
- Equações Matriciais
- Matriz Inversa
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