Inequações - Propriedades das inequações

Inequações - Propriedades das inequações

Inequações no conjunto dos números reais

1. Escrituras para as inequações

Na reta numérica representada na figura abaixo, a está à esquerda de b. Diz-se que a é menor do que b.

Com símbolos, escrevemos

a < b

Também, vemos que b está à direita de a; dizemos que b é maior do que a, e escrevemos

b > a

Exemplos

 0 < 4

-3 < -2

-2 > -3

 4 > -2

Observação:

O símbolo de desigualdade "aponta" para o menor dos números e se "abre" para o maior.

 

2. Propriedades das inequações

Numa inequação, se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo número aos seus dois membros o sentido da nova inequação não se modificará. Por exemplo:

Como 3 < 10, então 3 + 5 < 10 + 5; isto é, 8 < 15.

Como 7 > 4, então 7 - 2 > 4 - 2; isto é 5 > 2

Observação:

As inequações 3 > -1 e 7 > 2 têm mesmo sentido; também, as inequações 0 < 2 e -2 < -1 têm mesmo sentido

 

Os exemplos dados sugerem a propriedade que damos a seguir.

Propriedade das inequações na soma (PIS)

Para todos os números reais a, b e c temos:

Se a < b, então a + c < b + c

Se a > b, então a + c > b + c

Agora, vamos multiplicar ( ou dividir ) ambos os membros de uma inequação por um mesmo número.

3 > 2       4 . 3 > 4 . 2; isto é, 12 > 8

O sentido da desigualdade

10 < 15   isto é, 2 < 3

se conserva.

 

8 < 20  (-2) . 8 > (-2) . 20; isto é , -16 > -40

O sentido da desigualdade

3 > -2  (-4) . 3 < (-4) . (-2); isto é, -12 < 8

se inverte

Esses exemplos sugerem a propriedade que damos a seguir.

Propriedade das inequações no produto (PIP)

Para os números reais a, b e c, temos:

Se a < b e c é positivo,então ac < bc

Se a > b e c é positivo, então ac > bc

Se a < b e c é negativo, então ac > bc

Se a > b e c é negativo, então ac < bc

Observação:

Os símbolos < e > são usados frequentemente.

a < b significa que a é menor ou igual a b, isto é, a < b ou a = b

a > b significa que a é maior ou igual a b, isto é, a > b ou a = b.

As propriedades vistas acima são válidas quando numa inequação usamos os símbolos > ou <.

 

3. Resolução de algumas inequações

Para resolvermos uma inequação como

3x + 7 > 2x - 1

usamos, como nas equações, a seguinte estratégia: isolamos a incógnita x no 1º membro da inequação. Para isso, usamos as duas propriedades PIS e PIP. Por exemplo, para inequação acima temos:

3x + 7 > 2x - 1

PIS

3x + 7 + (-7) > 2x - 1 + (-7)

Efetuamos

3x > 2x - 8

PIS

3x + (-2x) > 2x - 8 + (-2x)

Efetuamos

x > - 8

 

A menos que se diga em contrário, resolvemos as inequações para valores da incógnita no conjunto dos números reais.

Então, o conjunto-solução da inequação é constituído por todos os números reais que são maiores que - 8:

S = { n | x > - 8}

Na reta numérica esse conjunto pode ser representado como na figura.

 

Sumário

- Inequações no conjunto dos números reais
- Escrituras para as inequações
- Propriedades das inequações
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