Funções Exponenciais - Funções Logarítmicas

Funções Exponenciais - Funções Logarítmicas

Função exponencial

Para cada número real b (positivo e diferente de 1) podemos construir uma função chamada função exponencial com base b, cujo domínio é o conjunto de todos os números reais e cuja fórmula (equação) é y = bx. Por exemplo

Função exponencial

Para toda constante real b, b > 0 e b 1 a equação

y = bx

define uma função exponencial com base b, cujo domínio é o conjunto dos números reais.

 

Observação

Usamos b > 0 para evitarmos raízes reais de números negativos; por exemplo

E, impomos b 1 porque y = 1x = 1 define uma função constante.

Vamos examinar o comportamento da função exponencial com base 2

y = f(x) = 2x

1. A função é definida para todos os valores reais de x; por exemplo

x = 2: f(2) = 22 = 4

x = -2: f(-2) = 2-2 =

O domínio da função é o conjunto dos números reais.

2. Para todo valor de x, 2x não assume o valor zero ou valores negativos.

O conjunto imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

3. Com uma tabela de valores podemos esboçar o gráfico de f(x) = 22.

x

f(x)

(x; f(x))

-1

(-1; )

0

1

(0; 1)

1

2

(1; 2)

2

4

(2; 4)

3

8

(3; 8)

Se desejarmos, podemos melhorar a exatidão do gráfico, marcando mais pontos. Por exemplo, para valores racionais (fracionários) de x, como , temos

Podemos também substituir x por valores irracionais, como ou  ; para efetuar os cálculos podemos usar uma calculadora científica.

Note que os pontos se ajustam bem à nossa curva.

Os gráficos das funções exponenciais y = bx, com base b > 1, têm basicamente o mesmo comportamento do gráfico de y = 2x, que desenhamos.

Vemos que as curvas são crescentes, com a concavidade voltada "para cima". Todas passam pelo ponto (0;1).

Vamos agora examinar os comportamentos da função exponencial com base

y = f(x) =

1. A função é definida para todos os valores reais de x; por exemplo

x = 2 : f(2) = =

x = -2 : f(-2) = = 22 = 4

O domínio da função é o conjunto dos números reais.

2. Para todo valor de xnão assume o valor zero ou valores negativos.

O conjunto imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

3. Com uma tabela de valores podemos esboçar o gráfico de f(x) = .

x

f(x)

(x; f(x))

-3

8

(-3; 8)

-2

4

(-2; 4)

-1

2

(-1; 2)

0

1

(0; 1)

1

(1; )

2

(2; )

Os gráficos das funções exponenciais y = bx, com base 0 < b < 1, têm basicamente o mesmo comportamento do gráfico de y = .

Vemos que as curvas são decrescentes, com a concavidade voltada "para cima". Todas passam pelo ponto (0; 1).

Note também que o gráfico de y = = 2-x pode ser obtido do gráfico de y = 2x por reflexão em torno do eixo-y.

De um modo geral, isso se dá quando desenhamos o gráfico de uma equação y = f(x) e da equação y = f(-x), obtida de y = f(x) trocando x por -x.

Função exponencial

Para b > 0 e b 1, a função exponencial com base b é definida por

f(x) = bx

O domínio de f é o conjunto dos números reais, e o conjunto imagem de f é o conjunto I = {y | y > 0}, dos números reais positivos.

 

 

Exercícios

1. Determine a função exponencial f(x) = bx, cujo gráfico é dado.

Resolução

a) Se o gráfico passa por (2; 9), então f(2) = 9

O gráfico dado é o da função exponencial com base 3.

b) Se o gráfico passa por (3; ), então f(3) = 

O gráfico dado é o da função exponencial com base  .

2. Usar o gráfico de y = 2x para obter o gráfico de cada uma das funções.

a) f(x) = - 2x 

b) f(x) = 2x - 1 

c) f(x) = 2x + 1

Resolução

a)  
b)  

c)

  • Aulas relacionadas

Sumário

- Função exponencial
- Equações exponenciais
- Função Logarítmica
- Logarítmo comum
- Logarítmo natural
- Gráfico da função logarítmica
- Propriedades imediatas
- Leis dos logarítimos
- Mudança de base
- Equações Logarítmicas
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