Função Quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definições

Uma função definida por um polinômio do 2º grau se chama função quadrática. São exemplos de função quadrática em x:

f(x) = - 2 x2 + x + 1

g(x) = 4 x2 - 5

h(x) = x2

Definição

Uma função quadrática é uma função da forma

f(x) = a x2 + b x + c

onde a, b e c são números reais a 0.

O gráfico da função quadrática

Entre as equações quadráticas a mais simples é f(x) = x2. O seu gráfico servirá como base para construirmos os gráficos de outras equações quadráticas.

Inicialmente, apresenta-se uma simetria. Temos:

f(-2) = f(2) = 4

f(-1) = f(1) = 1

De um modo geral,

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

isto é, para todo x temos

f(-x) = f(x)

Função par

Quando uma função f satisfaz, para todo x do seu domínio, a propriedade

f(-x) = f(x)

ela se chama função par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo-y.

 

Vamos construir uma tabela com pares ordenados que são as coordenadas de pontos do gráfico da equação y = x2. Quando marcamos esses pontos em um sistema de coordenadas e os unimos em uma curva contínua, obtemos o gráfico da função f(x) = x2.

x

y = x2

(x; y)

-3

9

(-3; 9)

-2

4

(-2; 4)

-1

1

(-1; 1)

0

0

(0; 0)

1

1

(1; 1)

2

4

(2; 4)

3

9

(3; 9)

Observação:

Podemos ter uma maior precisão no gráfico marcando mais pontos. Como não podemos marcar uma infinidade de pontos, admitimos uma certa dose de confiança de que o gráfico é aquele que desenhamos.

A curva obtida se chama parábola e toda equação quadrática y = a x2 + b x + c tem uma parábola como gráfico. O domínio da função é o conjunto dos números reais e seu conjunto imagem depende dos valores de a, b e c. Para a função f(x) = x2 o conjunto imagem é constituído por todos y  0.

Uma propriedade importante dessa parábola é que ela é simétrica em relação a uma reta vertical que se chama eixo de simetria. O gráfico da equação y = x2 é simétrico em relação ao eixo-y. Essa simetria deve-se ao fato de que f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) e que, portanto, a função é par.

A parábola tem um ponto de retorno, que se chama vértice. O vértice é a intersecção da parábola com o eixo de simetria.

No gráfico da equação y = x2 o vértice tem coordenadas (0; 0) e o valor mínimo da função é 0.

Note que, avançando da esquerda para a direita, a curva "desce" até a origem e depois "sobe". Dizemos que f é decrescente e que f é crescente.

f(x) = x2 é decrescente para x 0
Se x1 < x2, então f(x1) > f(x2)

f(x) = x2 é crescente para x 0
Se x1 < x2 , então f(x1) < f (x2)

 

FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE

 f é crescente sobre o intervalo I se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, em I

f é decrescente sobre o intervalo I se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2, em I

Exemplo

Para a função f cujo gráfico está na figura, temos:

intervalo

crescimento/decrescimento

x - 2

-2 x 2

x 2

f decresce

f cresce

f decresce

Podemos usar o gráfico da equação y = x2 para construirmos os gráficos de outras funções quadráticas. Por exemplo, os gráficos das funções y = x2 + 1 e y = x2 - 1 podem ser obtidos do gráfico da equação y = x2 por translações verticais desse gráfico.

O gráfico de y = x2 + 1 é obtido deslocando o gráfico de y = x2 + 1 unidade para cima.

O gráfico de y = x2 -1 é obtido deslocando o gráfico de y = x2 1 unidade para baixo.

Também, podemos construir os gráficos das funções y = (x - 1)2 e y = (x + 1)2 a partir do gráfico de y = x2, fazendo translações horizontais desse gráfico.

O gráfico de y = (x - 1)2 é obtido deslocando o gráfico de y = x2 1 unidade para direita. O vértice está em (1;0) e o eixo de simetria é a reta x = 1.

O gráfico de y = (x + 1)2 é obtido deslocando o gráfico de y = x2  uma unidade para a esquerda. O vértice está em (-1;0) e o eixo de simetria é a reta x = - 1.

Nos gráficos que construímos até aqui, o coeficiente de x2 é 1. Se o coeficiente é -1, o efeito sobre o gráfico é uma reflexão em relação ao eixo-x.

Então, para a função y = - x2 o domínio continua sendo o conjunto dos números reais, mas o conjunto imagem é o conjunto dos números reais y tais que y 0.

O vértice está em (0; 0) e 0 é valor máximo da função.

x

y = - x2

(x; y)

-3

-9

(-3; -9)

-2

-4

(-2; -4)

-1

-1

(-1; -1)

0

0

(0; 0)

1

-1

(1; -1)

2

-4

(2; -4)

3

-9

(3; -9)

O gráfico de y = - x2 é obtido por reflexão do gráfico de y = x2 em torno do eixo-x.

Vimos que o gráfico de y = x2 tem um ponto de retorno no vértice; ele se dobra "para cima". Dizemos que a curva tem concavidade para cima. O gráfico de y = - x2 se dobra para baixo; dizemos que a curva tem concavidade para baixo.

Quando o coeficiente a em y = a x2 é diferente de 1, o gráfico dessa função pode ser obtido multiplicando a ordenada y, dos pontos de y = x2, pelo número a, como nos exemplos abaixo.

Cada ordenada é a metade da ordenada do gráfico de y = x2.

Cada ordenada é o dobro da ordenada do gráfico de y = x2.

Note que o gráfico de y = 2 x2 está "mais levantado" em relação ao gráfico de y = x2; o gráfico de y = 2 x2 "se afasta" do eixo-x. O gráfico de y =  x2 "se aproxima" do eixo-x.

Exercícios

1. Desenhar o gráfico da função y = - x2 + 3. Dizer onde a função é crescente ou decrescente. Qual é o conjunto-imagem da função?

Resolução

Partimos do gráfico de y = - x2; deslocando-o de 3 unidades "para cima", obtemos o gráfico de y = - x2 + 3.

A função y = - x2 + 3 é crescente para x ≤ 0 e é decrescente para x ≥ 0. Seu conjunto-imagem é constituído por todos y tais que y  3.

2.  Desenhar o gráfico da função y = f(x) = (x + 2)2 - 2.

Resolução

Partimos do gráfico da função y = x2. Deslocando-o "para a esquerda" de 2 unidades, obtemos o gráfico de y = (x + 2)2; depois, deslocando-o "para baixo" de 2 unidades, obtemos o gráfico de y = f(x) = (x + 2)2 - 2.

Note que o conjunto-imagem da função f é constituído por todos y tais que y  -2.

3. Desenhar o gráfico da parábola y = 2 (x - 2)2 + 1.

Resolução

Começamos com o gráfico de y = 2 x2; deslocando-o 2 unidades "para a direita", obtemos o gráfico de y = 2 (x - 2)2.

Então, deslocando-o 1 unidade "para cima" obtemos o gráfico de y = 2 (x - 2)2 = 1.

 

O vértice da parábola é o ponto V (2; 1) e o eixo de simetria tem equação x = 2.

Sumário

- Definição da função quadrática
- Função par
- Função crescente e função decrescente
- Gráfico da equação y =a (x - h)2 + k.
- Completando o quadrado
- Máximo e mínimo
- Transformação da equação f(x) = ax2 + bx + c
- O discriminante e a parábola

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