Conjuntos Numéricos - Operações com Conjuntos

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Os números racionais

  • = { 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números naturais.
  • = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números inteiros.
  • é racional um número que pode ser escrito como um quociente entre dois inteiros; assim, se p e q são números inteiros e é um número racional.

Por exemplo

são números racionais.

Os números inteiros são também números racionais; eles podem ser escritos como um quociente entre dois inteiros:

Um número racional pode, ainda, ser escrito na forma decimal, como por exemplo:

3,7
5,17
0,032
0,222....
2,131313...

Note que nos três primeiros números, a representação decimal "termina" e é simples escrever frações correspondentes que os representam:

Para os dois outros exemplos, a representação decimal "não termina", é um grupo de algarismos que repete-se uma infinidade de vezes: são as dízimas periódicas.

Podemos sempre determinar uma fração que é igual a uma dízima periódica qualquer, isto é, uma dízima periódica representa efetivamente um número racional.

Por exemplo, vamos obter uma fração que gera a dízima 0,222...

Temos:

x = 0,222... (1)

10 . x 2,222 ....(2)

Fazemos a subtração (2) - (1) , obtendo

10 x - x = (2,222....) - (0, 222....),

donde

9 x = 2

Os números reais

Certos números como não podem ser escritos como um quociente entre inteiros. Esses números não são racionais; eles são chamados números irracionais.

Um número irracional pode ser escrito na forma decimal; por exemplo:

Essa representação decimal apresenta uma infinidade de algarismos e não é periódica.

O conjunto constituído pelos números racionais e pelos números irracionais é denominado conjunto dos números reais, e é representado com a letra .

A reta numérica

Podemos nos utilizar de uma reta para representar o conjunto dos números reais.
Para construirmos essa representação, sobre uma reta selecionamos um ponto O - chamado origem - para representar o número zero; depois, "à direita" da origem marcamos um ponto U para representar o número 1. A distância entre O e U é então a unidade de comprimento.

Agora, observe que os números reais, não nulos, dividem-se em dois tipos distintos: os números positivos e os números negativos. Identificamos um número positivo a com o ponto da reta que está à distância a unidades "à direita" da origem. Se a é negativo, então o identificamos com o ponto localizado - a unidades "à esquerda" da origem.

A figura abaixo mostra o resultado dessa identificação.

A reta sobre a qual construímos uma representação para é denominada reta numérica ou reta real.

A identificação entre os números reais e os pontos de uma reta estabelece que cada número real corresponde a exatamente um ponto da reta e, inversamente, cada ponto da reta numérica corresponde a um único número real.

O ponto A identificado com o número real a é chamado gráfico de a; diz-se também que o ponto A tem abscissa a

Se A tem abcissa a, escrevemos:

A (a)

Intervalos

Na reta real, um segmento ou uma semirreta chamam-se intervalos. Há diferentes maneiras para representá-los, como descrevemos abaixo:

Sejam, então, a e b reais, com a < b; temos:

Notação de conjunto

Notação de intervalo

Gráfico

[ a ; b ]

] a ; b [

] a ; b ]

[ a ; b [

Fica convencionado, também, que escreveremos:

5. Inclusão

Vimos que todo número inteiro é um número racional; por exemplo, o inteiro 21 é racional pois pode ser escrito na forma , de um quociente entre inteiros. Em outras palavras:

  • todo elemento do conjunto é um elemento do conjunto

Traduzimos uma tal situação dizendo que está contido no conjunto , e escrevemos .

De um modo geral, temos:

Definição

Todos os conjuntos A e B, diz -se que A está contido em B (ou que A é um subconjunto de B), e indicamos A B, se todo elemento de A é também um elemento de B.

Note que :

  • Aulas relacionadas

Sumário

- Os números racionais
- Os números reais
- A reta numérica
- Intervalos
- Inclusão
- Intersecção e união
- Fatoração
- Soma e diferença de cubos
- Equação do 2º grau
- Relações entre as raízes e o coeficiente de uma equação do 2º grau
- A regra de três
- O domínio da composta
- Demonstrações das leis dos logarítmos
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