Análise Combinatória - Permutações - Arranjos - Combinação simples

Análise Combinatória - Permutações - Arranjos - Combinação simples

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Análise Combinatória é o ramo da Matemática que estuda métodos de contagem, possibilidades e combinações.

Exemplo

Quantos números diferentes de dois dígitos podem ser formados pelos dígitos 1-9?

Resposta:

Há 9 diferentes escolhas para o primeiro dígito (1-9) e há também 9 diferentes escolhas para o segundo dígito (1-9). Há, portanto, 9 x 9 = 81 diferentes formas de formar números de dois dígitos de 1-9.

Este exemplo ilustra a seguinte regra de Análise Combinatória:

Se um evento ocorre em "n" etapas sucessivas e independentes de tal maneira que:

aseja o número de possibilidades de ocorrência da 1ª etapa, a2 seja o número de possibilidades de ocorrência da 2ª etapa, ... an seja o número de possibilidades de ocorrência da nª etapa, então o número total de possibilidades de ocorrência desse evento é dado por: a1.a2.a3. ... . an.

Fatorial de um Número

Seja n um número inteiro positivo, o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) é definido como:

Observação importante: 0!=1 e 1!=1

Exemplo

5!

PERMUTAÇÕES

Qualquer arranjo de um grupo de elementos com uma ordem fixa é chamado de uma permutação. Um grupo de elementos pode ser organizado de formas distintas, em ordens diferentes. 

Por exemplo

abcd, acbd, dcab são permutações das letras a, b, c, d.

São grupos que diferem entre si por alterações de ordem em seus elementos.

Permutações Simples (sem elementos repetidos)

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!. Isto é:
     Pn = n!

n= número de elementos

Por exemplo

P6=6! = 6.5.4.3.2.1=720

Exemplo

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os 5 bancos de um carro.

Resolução

P5=5!=5.4.3.2.1= 120
Resposta: 120 formas distintas

Quando há m fatores decrescentes a partir de n:

 

Exemplo

 

Exemplo

Um sistema de computadores é acessado através de senhas. Se as senhas são formadas por uma sequência de seis diferentes letras, quantas senhas distintas podem ser formadas? (Considere 26 letras – Novo Acordo Ortográfico).

Resolução

Há 26 letras possíveis e as senhas precisam ser constituídas por 6 letras que não se repetem. Portanto: P(26,6).

Resposta: 165.765.600 senhas distintas podem ser formadas

Permutações com Elementos Repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, há a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos, e assim por diante, o número total de permutações que podem ser formadas é:

Exemplo

Considere a palavra TENNESSEE. Quantas senhas, cada uma delas contendo 9 letras, podem ser formadas com as letras dessa palavra?

Resolução:

Há 9 letras na palavra TENNESSEE. Portanto, n=9. Os subgrupos de letras repetidas são: a=4 (há 4 Es), b=2 (há 2 Ns) e c=2 (há dois Ss).
O número de diferentes senhas que podem ser formadas é:

Resposta: 3780 senhas

ARRANJOS

São grupos que diferem entre si por alterações de ordem e natureza em seus elementos.

Arranjos Simples (sem repetições)

Exemplo

Um teclado de computador possui os seguintes dígitos: 0,1,2,3...9. A senha secreta para acessar o computador é formada por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se alguém tentar adivinhar a senha ao digitar 3 números distintos, qual o máximo número de tentativas que ele precisará fazer para conseguir acessar o computador?

Resolução:

n!=10, pois há 10 números possíveis no teclado do computador: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A senha de acesso (p), é composta por 3 dígitos distintos.

Portanto:

Resposta: 720 tentativas.

Arranjos Completos (com repetições)

Exemplo

Uma prova é administrada numa sala de aula. A prova constitui-se de dez perguntas, Verdadeiro ou Falso, não havendo a possibilidade de o aluno não responder qualquer uma das perguntas. Quantos resultados diferentes podem ocorrer?

Resolução

Para cada pergunta da prova, há apenas duas possibilidades de resposta: Verdadeiro ou Falso. É natural que as respostas se repitam várias vezes, pois é raro um aluno escolher a opção de Verdadeiro ou de Falso para todas as perguntas. Há, portanto, arranjos completos de 2 elementos (Verdadeiro ou Falso) tomados 10 a 10. A resposta é, portanto, np=210

Resposta: 210

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Sumário

- Princípio Fundamental da Contagem
- Fatorial de um Número
- Permutações
- Permutações com Elementos Repetidos
- Arranjos
- Arranjos Simples (sem repetições)
- Arranjos Completos (com repetições)
- Combinações Simples
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