Movimento Uniforme

Movimento Uniforme

Velocidade Instantânea

Além da velocidade escalar média, define-se uma velocidade escalar instantânea. A definição rigorosa porém envolve ferramentas matemáticas que só são estudadas em cursos de nível universitário. Assim, apresentaremos esse conceito de modo informal.

Os automóveis em geral têm instrumento denominado velocímetro (figura 1) que fornece a velocidade instantânea do automóvel, isto é, a velocidade que ele tem em cada instante.

Suponhamos, por exemplo, que num determinado instante, o velocímetro indique 80 km/h. Isto significa que nesse instante a velocidade do automóvel é 80 quilômetros por hora; se, a partir desse instante o automóvel mantiver constante a sua "rapidez", a cada hora percorrerá 80 quilômetros. Porém, essa velocidade não ficará necessariamente constante. Em geral, durante uma viagem, o valor da velocidade instantânea sofre alterações. Portanto, velocidade média e velocidade instantânea são conceitos diferentes.

Suponhamos porém uma situação especial em que, durante a viagem, a velocidade escalar instantânea (V_i) fique constante. Nesse caso a velocidade escalar média (V_m) durante a  viagem será igual à velocidade escalar instantânea:

V_i constante V_m = V_i

Quando a velocidade escalar instantânea é constante, dizemos que o movimento é uniforme. Assim, quando o movimento for uniforme, podemos calcular a velocidade escalar instantânea usando a fórmula que, em princípio, só deveria ser usada para a velocidade média:

Movimento uniforme  

Exemplo 1

Além da unidade astronômica (que vimos) há uma outra unidade de comprimento usada pelos astrônomos: o ano-luz. Por definição o ano-luz é a distância percorrida pela luz, no vácuo, durante um ano. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é aproximadamente

Calcule, em metros, o valor do ano-luz.

Resolução

Temos:

Exemplo 2

Um trem de comprimento 50 metros move-se com velocidade 20m/s. Quanto gastará esse trem para atravessar um túnel de comprimento 150 metros?

Resolução

Na figura a seguir representamos o instante em que o trem começa a entrar no túnel ( figura a ) e o instante em que o trem termina a travessia ( figura b ).

Para estudar o movimento do trem, escolhemos um ponto qualquer sobre ele. Vamos escolher o ponto P que está na frente da locomotiva. Entre o movimento em que o trem começa a entrar no túnel e o momento em que o trem termina a travessia, o espaço percorrido pelo ponto P é:  

Como a velocidade do trem é v = 20 m/s, temos:

Exemplo 3

Um automóvel fez um percurso entre duas cidades com velocidade constante 60 km/h. Se tivesse feito a viagem com velocidade 80 km/h teria economizado 2,0 horas. Qual a distância entre as cidades?

Resolução

Sendo x a distância entre as duas cidades temos:

Mantendo velocidade , o tempo gasto é:

Fazendo a viagem com velocidade , o tempo gasto seria:

De acordo com o enunciado temos:

Resolvendo esta equação obtemos:

Equação Horária do Movimento Uniforme

Equação Horária

Nas aulas anteriores consideramos algumas situações em que um objeto tinha movimento uniforme. Para analisar essas situações usamos simplesmente a equação

No entanto existem problemas que, para serem resolvidos, precisam de uma outra equação. Para chegar nessa equação vamos imaginar um automóvel movendo-se em uma rodovia com movimento uniforme, isto é, com velocidade escalar constante. Suponhamos que essa velocidade seja v = 4 m/s.

Num determinado instante começamos a observar o automóvel e, para marcar o tempo, em vez de usar um relógio comum, vamos usar um cronômetro (Fig.1) que é colocado em funcionamento no instante em que começamos a observar o automóvel. Isto quer dizer que, no momento em que começamos a observar o automóvel, o cronômetro marca zero (t = 0). Nesse momento nós marcamos a posição do automóvel dando a posição de um ponto qualquer dele. Por exemplo, vamos dar a posição do ponto P que está na frente do automóvel (Fig.2).

No caso do exemplo da Fig. 2, o espaço do ponto P no instante zero é 30 metros; esse espaço é chamado de espaço inicial.

Algum tempo depois, quando o cronômetro marca um tempo t qualquer, o espaço do ponto P é s. Entre o instante zero e o instante t, a variação de espaço é:

Assim,

Mas, neste caso, sabemos que a velocidade é v = 4 m/s. Substituindo na igualdade anterior temos:

ou: s - 30 = 4t

ou ainda: s = 30 + 4t ( II )

A equação II é a equação que estávamos procurando. Ela é chamada equação horária do espaço. Na realidade a palavra "horária" não é adequada, sendo usada apenas por tradição. O nome mais adequado seria equação temporal do espaço, pois ela nos fornece o espaço em cada instante de tempo t. Se quisermos saber o espaço s num instante t qualquer, basta substituir esse valor na equação II. Por exemplo, vamos dar alguns valores a t e calcular os espaços:

s = 30 + 4t

t = 0 s = 30 + 4 (0) = 30 + 0 = 30 m

t = 5 s s = 30 + 4 (5) = 30 + 20 = 50 m

t = 10 s s = 30 + 4 (10) = 30 + 40 = 70 m

Na Fig.3 marcamos essas posições (Fig.3).

Equação horária no caso geral

Vamos agora repetir para o caso geral o que fizemos para o exemplo acima.

Na Fig. 4 representamos as posições de um automóvel no instante zero (t = 0) e num instante t qualquer (Fig.4).

No instante t = 0, a posição do automóvel é dada pelo espaço s₀ o qual é chamado de espaço inicial.

Supondo que o movimento seja uniforme temos:

Multiplicando em cruz os termos da igualdade

obtemos: s - s₀ = vt

ou:

A equação III é a equação horária do espaço de um movimento uniforme, no caso geral.

Ao usarmos essa equação devemos levar em conta o sinal da velocidade, lembrando que num movimento progressivo (Fig.5) a velocidade é positiva (v > 0) e num movimento retrógrado (Fig.6) a velocidade é negativa.

Exemplo 4

Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que a equação horária do espaço é

s = 20 + 30t

onde o espaço é dado em quilômetros e o tempo é dado em horas.

a) Determine o espaço inicial e a velocidade do automóvel.

b) Qual a posição do automóvel no instante t = 2h?

c) Em que instante o automóvel passa pela posição de espaço s = 140 km ?

Resolução

a) Vamos comparar a equação fornecida no problema com a equação geral que nós deduzimos:

Dessa comparação percebemos que

s₀ = 20 e v = 30

Levando em conta que as unidades são quilômetros e hora, temos:

s₀ = 20 km e v = 30 km/h.

Dizer que o espaço inicial s₀ é 20km, significa dizer que, quando começamos a observar o automóvel (t = 0) ele estava na posição de espaço s₀ = 20 km como ilustra a Fig. 7

b) Para obtermos a posição do automóvel no instante t = 2h, basta substituirmos esse valor na equação horária do espaço:

c) Para obtermos o instante em que o automóvel passa pela posição de espaço s = 140 km, substituímos esse valor na equação horária do espaço:

Portanto, o automóvel passa pela posição de espaço s = 140 km no instante t = 4 h, isto é, 4 horas após o momento em que começamos a observar o automóvel.

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